《Advances in Applied Probability》：Generalized percolation games on the two-dimensional square lattice and ergodicity of associated probabilistic cellular automata
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本文研究了二维无限格点上的广义渗流博弈和边渗流博弈，通过构建对应的概率元胞自动机（PCA），利用权重函数方法，证明了在特定参数范围内，博弈的平局概率为零，即PCA具有遍历性。该研究不仅推广了经典的渗流博弈模型，而且为PCA的遍历性理论提供了新的分析工具和结果，对理解随机博弈的动力学行为具有重要意义。
在组合博弈论与概率论的交叉领域，二维无限格点上的随机博弈模型一直是研究的热点。这类模型不仅具有丰富的理论内涵，还能模拟现实世界中诸多竞争性场景，如寡头市场竞争、法庭辩论策略等。传统的渗流博弈主要关注顶点（site）的随机标记，而实际系统中，连接（边）的状态往往同样关键。此前的研究虽然在线性树或特定有向图上取得了一定进展，但对于更一般的、同时考虑顶点和边随机性的博弈模型，其动力学行为，尤其是博弈结果（必胜、必败或平局）的概率分布，仍存在大量未解之谜。问题的核心在于，当博弈环境（即格点的标记方式）由多个独立随机参数控制时，能否以及何时博弈会几乎必然地分出胜负，而非陷入无限循环的平局？这一问题的解答，对于理解随机结构上的策略性行为至关重要。
为了深入探究这一问题，研究人员在《Advances in Applied Probability》上发表了题为“Generalized and bond percolation games on the two-dimensional square lattice”的研究论文。该研究引入了两种广义的随机博弈模型：一种是三参数的广义渗流博弈，其顶点和边分别以概率p、q、r被独立标记为“陷阱”（trap）、“目标”（target）或“开放”（open）；另一种是两参数的边渗流博弈，仅边被随机标记。研究的核心目标是精确刻画在哪些参数区域（p, q, r）或（r', s'）下，博弈以概率1不会出现平局。这一问题的解决，等价于证明其对应的概率元胞自动机（PCA）是遍历的（ergodic），即无论初始状态如何，系统最终都会演化到唯一的稳态。
研究者采用的关键技术方法是将博弈的动态过程映射到一维概率元胞自动机（PCA）上。通过分析PCA的随机更新规则，并构造合适的权重函数（或称势函数），建立了一系列保证PCA遍历性的不等式条件。这种方法的核心在于将复杂的全局动力学性质转化为可验证的局部不等式，从而绕过了直接分析无限维马尔可夫过程的困难。研究过程中，作者系统地推导了PCA的更新规则，并针对不同参数区域，精心设计了相应的权重函数来证明其收缩性。
研究结果
- 1.
广义渗流博弈的平局概率为零的充分条件
研究证明，当参数p, q, r足够小（例如均小于1/50），且满足不等式2(p+q)+6r2+3r(p+2q) ≥ 4r+(p+q)2，同时(p, q, r)还满足由(4)-(7)式给出的四组约束条件中的一组时，对应的广义渗流博弈以概率0出现平局。这意味着在这些参数区域内，博弈几乎必然会在有限步内结束。图2和图3通过三维和二维图像直观地展示了这些参数区域的覆盖范围，表明该结果涵盖了参数空间原点附近的大部分区域。
- 2.
边渗流博弈的平局概率为零的充分条件
对于边渗流博弈，研究同样找到了保证平局概率为零的参数区域。具体而言，当r'和s'足够小，并满足不等式(8)时（情形B1），或者当s' = 0且r' > 0.157175时（情形B2），又或者当r' = s' ≥ 0.10883时（情形B3），博弈结果也几乎必然不是平局。这些条件显著改进了以往基于PCA传统遍历性判据（如Dobru?in条件）所能得到的结果，将遍历性证明扩展到了更接近临界点的参数区域。
- 3.
概率元胞自动机的遍历性证明
本研究的核心理论贡献在于证明了与上述博弈对应的PCA（记为?p,q,r和êr',s'）及其“包络”（envelope）PCA（Gp,q,r和Er',s'）在所述参数范围内的遍历性。证明的关键是构造了非平凡的权重函数，并验证了相应的权重函数不等式。这种方法特别适用于处理参数值很小（接近退化情形）时传统方法失效的情况，为分析此类“弱噪声”PCA的遍历性提供了有力工具。
研究结论与意义
本研究的结论表明，即使在顶点和边都存在随机性的广义渗流博弈中，只要“陷阱”和“目标”出现的总概率不为零（即p+q+r > 0），并且在特定的（即使是任意小的）参数约束下，博弈几乎总是可以分出胜负的，出现无限持续平局的概率为零。这一发现深化了我们对随机环境中博弈行为确定性的理解。
其重要意义主要体现在三个方面：首先，在理论上，它将经典的站点渗流博弈结果推广到更一般的设置，并成功地将边渗流博弈作为其特例纳入统一框架，体现了模型的一般性。其次，在方法上，研究所采用的权重函数技术为证明一类重要但难以处理的PCA的遍历性提供了新途径，特别是弥补了现有方法（如Dobru?in条件）在参数空间边界附近失效的不足。最后，该研究建立的概率元胞自动机与组合博弈之间的深刻联系，为利用动力系统工具分析复杂随机博弈开辟了新思路，对概率论、统计物理和计算机科学等多个领域均有启发意义。
