基于拓扑优化的感应无磁流体动力学管道截面设计：最大化体积流率

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Topology optimisation-based design of duct cross-sections for fully developed magnetohydrodynamic flows

本文针对感应无磁流体动力学（MHD）管道内充分发展流动问题，研究了如何通过拓扑优化（TO）设计管道横截面几何形状以最大化体积流率。研究采用两种有限元公式（全耦合电荷守恒FCCC和简化电势基RPB）进行建模和优化，分析了不同哈特曼数（Ha）和固液电导率比对最优拓扑结构的影响。结果表明，优化后的拓扑显著增强了体积流率（例如，在Ha2=103时提升达52%），其结构倾向于沿磁场方向排列，以有效调制洛伦兹力。该研究为高性能MHD管道系统的设计提供了新思路。

　　

在工程和科学领域，磁流体动力学（MHD）研究导电流体在磁场中的运动规律，其应用广泛，从核聚变反应堆的液态金属包层到铝电解槽和MHD推进器。在这些系统中，管道是输送导电流体的关键部件，其性能直接影响整个系统的效率。一个核心的科学与工程问题是如何设计管道几何形状，以在给定压力梯度下最大化体积流率，特别是在存在阻碍流动的洛伦兹力的情况下。传统的管道设计，如圆形截面，在纯流体动力学中因其最小的湿周面积而最优，但在MHD环境下，由于电磁场与流体的复杂相互作用，这一经典结论不再成立。洛伦兹力会显著改变流动结构，形成著名的哈特曼层和侧层，增加流动阻力。因此，探索非传统的管道截面形状，通过拓扑优化（TO）方法“定制”几何形状来协同管理粘性耗散和电磁力，从而可能实现流动性能的突破，成为一个极具吸引力的研究方向。

本研究发表在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》上，旨在通过拓扑优化系统性地寻找感应无MHD（即忽略诱导磁场的效应）管道充分发展流动的最优截面形状，以最大化体积流率。研究的关键在于解决粘性力与洛伦兹力之间的权衡问题。

为开展研究，作者采用了两种主要的计算框架：全耦合电荷守恒（FCCC）公式和简化电势基（RPB）公式。前者严格保证了离散层面的电荷守恒，但计算成本较高；后者计算更高效，是前者的常见简化。拓扑优化过程本身通过固体各向同性材料惩罚（SIMP）方法实现，将设计域中的材料分布表示为连续变量，并通过求解伴随方程进行灵敏度分析，采用移动渐近线法（MMA）进行优化更新。为了获得清晰的拓扑并避免数值不稳定性，研究中还引入了亥姆霍兹滤波和Heaviside投影技术。计算在一个方形域上进行，四周设有固定的固体边界，内部为设计区域，并采用了大规模有限元网格（600x600单元）以确保计算精度。

研究结果

优化拓扑结构随哈特曼数的演变

研究系统分析了不同哈特曼数（Ha²= 10², 10³, 10⁴, 10⁵）和固液电导率比（σ?_s= σ_s/σ_f= 0.1, 0.9）下的最优拓扑。结果表明，优化后的截面形状强烈依赖于Ha数。在低Ha数（Ha²=100）下，优化拓扑与圆形截面差异不大，仅出现轻微压扁，说明此时流动仍由粘性力主导，优化空间有限。随着Ha数增大（Ha²=1000, 10000），优化拓扑发生了显著变化，出现了沿外加磁场（本文中主要为垂直方向）排列的细长内部固体结构。这种“翼状”或“鳍状”结构的形成，是为了引导电流、重新分布洛伦兹力，使其在整体上对流动的阻碍作用减小，甚至产生促进作用，从而有效提升流量。当Ha数极高时（Ha²=100000），拓扑结构更为复杂，可能出现内部不连通的固体区域，这虽在数学上可行，但实际制造困难。

固液电导率比的关键影响

固相的电导率对优化结果有至关重要的影响。当固体是弱导体（σ?_s=0.1）时，优化拓扑在中等Ha数下倾向于保留侧向固体块，内部细分结构出现较晚。而当固体是良导体（σ?_s=0.9）时，即使在中等Ha数下，优化拓扑也迅速引入多个内部细长结构。这是因为高电导率的固体能更有效地引导和调制管道横截面上的电流路径，从而为利用洛伦兹力提供了更大潜力。性能对比显示，在高σ?_s和高Ha数条件下，优化拓扑相对于参考圆形截面的体积流率提升更为显著，例如在Ha²=1000时，优化设计可实现超过50%的流量提升，而在低σ?_s下提升幅度则小得多。

磁场方向的作用

研究还探讨了磁场方向（如对角线方向）的影响。结果表明，无论如何改变磁场方向，优化拓扑结构始终表现出与磁场方向对齐的强烈趋势。这进一步证实了优化过程的内在驱动力是使几何形状与电磁场配置相协调，以最小化洛伦兹力对流动的整体阻力。

FCCC与RPB公式的对比

尽管FCCC公式在数学上更严格地保证了电荷守恒，而RPB公式是近似，但令人惊讶的是，两种公式得出的最优拓扑结构和流量提升效果高度一致。这表明，对于当前所研究的拓扑优化问题，RPB公式已能提供足够精确的结果，因其计算效率更高，可作为首选方法。然而，在电流线可视化上，FCCC公式能给出光滑连续的电流线，而RPB公式的电流线在材料界面处可能出现间断，反映了其在离散层面电荷守恒上的不足，但这种差异对宏观优化目标的影响较小。

研究结论与意义

本研究的核心结论是，在感应无MHD管道流动中，存在通过拓扑优化显著提升体积流率的巨大潜力。圆形截面并非最优选择，最优拓扑强烈依赖于哈特曼数和固相电导率，其普遍特征是与外磁场对齐的细长结构。这表明，通过精心设计几何形状，可以主动管理并利用电磁力，而非仅仅被动承受其阻碍作用。

这项工作的意义重大。首先，它从方法论上成功地将拓扑优化应用于复杂的多物理场（流-固-电磁）问题，并比较了不同数学公式的适用性，为处理类似问题提供了范例。其次，研究揭示的物理机理深化了我们对MHD流动中几何形状与电磁力相互作用的理解，表明性能优化需要综合考虑粘性耗散和洛伦兹力的整体效应。最后，也是最重要的，该研究为高性能MHD设备（如液态金属冷却系统、MHD发电机或泵）的工程设计提供了全新的思路和具体的优化设计方法。通过拓扑优化获得的非直观几何构型，有望打破传统设计的性能瓶颈，引领下一代MHD技术的发展。

未来的工作可以着眼于为优化结果引入制造约束（如最小特征尺寸、连通性），并将其扩展到三维和非充分发展流动等更接近实际应用的情景中。