基于最优传输的星体加权Brunn-Minkowski不等式与熵泛函凸性研究

《Advances in Mathematics》：New Brunn–Minkowski and functional inequalities via convexity of entropy

本文针对非凸集上测度的Brunn-Minkowski型不等式这一几何测度论难题，研究了在p-齐次凸势函数导出的概率测度ν下，星体K0, K1的Minkowski平均的ν-测度下界。研究人员创新性地运用最优传输理论和信息论工具，将集合几何问题提升至测度空间的几何框架下分析，证明了形如ν((1-t)K0 + tK1)^((p-1)/(pn))的加权Brunn-Minkowski不等式。进一步针对高斯测度γ，建立了沿位移插值的相对熵D(·||γ)的强化凸性性质，并推导出改进的HWI不等式、对数Sobolev不等式和Talagrand不等式。该研究为理解测度在Minkowski平均下的行为提供了新的理论工具和深刻见解。

　　

在几何分析和凸体理论中，Brunn-Minkowski不等式是一个基础而重要的结果，它描述了欧几里得空间中凸体体积在Minkowski加法下的行为。该不等式表明，对于Rⁿ中的任意凸体K₀和K₁，以及参数t∈[0,1]，它们的Minkowski平均的体积满足Vol_n((1-t)K₀+tK₁)^1/n≥ (1-t)Vol_n(K₀)^1/n+ tVol_n(K₁)^1/n。这个结果不仅形式优美，而且在等周不等式、仿射等周不等式等多个重要几何不等式的证明中发挥着关键作用。

然而，当我们将目光从体积测度转向更一般的测度时，情况变得复杂起来。一个自然的问题是：对于给定的测度ν，是否存在某个指数s>0，使得ν((1-t)K₀+tK₁)^s≥ (1-t)ν(K₀)^s+ tν(K₁)^s对所有凸体K₀,K₁成立？这类不等式被称为测度ν的Brunn-Minkowski型不等式。

对于对数凹测度（即具有对数凹密度的测度），Borell和Brascamp-Lieb等先驱者做出了奠基性工作。特别地，对于高斯测度γ，即密度为(2π)^-n/2e^-|x|2/2的测度，虽然它满足Brunn-Minkowski不等式，但最优指数并非1/n而是1/2。这一事实反映了高斯测度与均匀测度在几何性质上的本质差异。

更令人困扰的是，当我们考虑非凸集合时，即使对于高斯测度这样的基本测度，建立Brunn-Minkowski型不等式也异常困难。近年来，Eskenazis和Moschidis取得了突破性进展，证明了对于任意Borel集A,B?R^{n，高斯测度满足γ((1-t)A+tB)1/2≥ (1-t)γ(A)1/2+ tγ(B)1/2。这一结果的证明极其复杂，依赖于高斯空间的特殊对称性和分析技巧。}

在此背景下，本文作者提出了一种全新的研究思路——通过最优传输理论和信息论的结合，来研究更广泛的测度类上的Brunn-Minkowski型不等式。这种方法的核心在于将集合的几何问题"提升"到测度空间的框架下，利用最优传输中的位移凸性等现代工具来揭示测度在Minkowski平均下的深层性质。

本研究主要采用了最优传输理论中的Wasserstein距离和位移插值技术，结合信息论中的相对熵概念，建立了测度在Minkowski平均下的新型不等式。关键技术方法包括：利用Brenier定理构造最优传输映射，分析沿位移插值的相对熵D(·||ν)的凸性性质，以及通过变分公式将测度不等式转化为熵泛函的凸性条件。针对高斯测度情形，还应用了奇函数Poincaré不等式和HWI不等式等工具。

主要研究结果

星体的加权Brunn-Minkowski不等式

研究人员首先建立了针对星体（star bodies）的加权Brunn-Minkowski不等式。设V:Rⁿ→[0,∞)是p-齐次凸函数（1< />^-V为密度的概率测度。对于任意星体K₀,K₁?Rⁿ和t∈[0,1]，有以下不等式成立：

ν((1-t)K₀+tK₁)^(p-1)/(pn)≥ (1-t)ν(K₀)^(p-1)/(pn)+ tν(K₁)^(p-1)/(pn)

这一结果推广了Kolesnikov和Livshyts之前的工作，且不需要集合的凸性假设。特别地，当取V(x)=|x|²/2时，得到高斯测度的类似不等式，但指数为(p-1)/(pn)而非之前已知的1/2。

熵泛函的位移凸性

通过将集合的Brunn-Minkowski不等式转化为测度空间中熵泛函的凸性问题，研究人员证明了以下重要结果：对于p-齐次凸势函数V导出的测度ν，以及具有径向递减密度（相对于ν）的概率测度μ₀,μ₁，沿它们之间的位移插值μ_t，函数t?e^{-((p-1)/(pn))D(μ_t||ν)}是凹的。

这一发现建立了集合的几何不等式与测度空间中熵泛函凸性之间的深刻联系，为理解Brunn-Minkowski型不等式提供了新的视角。

高斯测度下的强化凸性

针对高斯测度γ的特殊情形，研究人员得到了更强的结果。如果位移插值μ_t由偶的强对数凹概率测度构成，且每个μ_t满足奇函数Poincaré不等式（常数为1），则相对熵D(μ_t||γ)满足以下强化凸性：

d2/dt2 D(μ_t||γ) ≥ 2W₂²(μ₀,μ₁) + 1/n (d/dt D(μ_t||γ))²

其中W₂表示2-Wasserstein距离。这一结果表明，在特定条件下，不仅维度改进为1/n可以实现，"曲率"也改进为2，反映了高斯空间更强的几何结构。

改进的HWI不等式及其应用

基于上述凸性结果，研究人员推导出了高斯测度下改进的HWI不等式。对于偶的强对数凹概率测度μ，有：

e^{(D(μ₀||γ)-D(μ₁||γ))/n}≤ cos(√(2/n)W₂(μ₀,μ₁)) + 1/√(2n) sin(√(2/n)W₂(μ₀,μ₁))√I(μ₀||γ)

这一不等式统一并强化了高斯对数Sobolev不等式和Talagrand运输成本-信息不等式。特别地，当取μ₀=μ, μ₁=γ时，可得改进的对数Sobolev不等式：

4D(μ||γ) ≤ 2n(e^2D(μ||γ)/n-1) ≤ I(μ||γ)

这蕴含着沿Ornstein-Uhlenbeck半群的熵衰减估计：D(P_t^*μ||γ) ≤ e^-4tD(μ||γ)，衰减率从经典结果的2提高到了4。

类似地，当取μ₀=γ, μ₁=μ时，得到改进的Talagrand不等式：

W₂²(μ,γ) ≤ -n log cos(√(2/n)W₂(μ,γ)) ≤ D(μ||γ)

这些结果表明，对于偶的强对数凹测度，经典的高斯功能不等式可以得到显著改进。

研究结论与意义

本研究通过融合最优传输理论和信息论的方法，建立了关于星体在一般测度下的Brunn-Minkowski型不等式，以及沿位移插值的熵泛函凸性性质。主要贡献和创新点包括：

方法学上的创新：将经典的几何不等式问题转化为测度空间中熵泛函的凸性问题，为研究测度的Brunn-Minkowski性质提供了全新的框架。这种基于最优传输的"提升"策略避免了对集合凸性的依赖，使得研究非凸集上的测度不等式成为可能。

理论结果的推进：针对p-齐次凸势函数导出的测度，建立了星体的加权Brunn-Minkowski不等式，推广并改进了已有结果。特别地，对于高斯测度，发现了在偶强对数凹测度类上熵泛函的强化凸性，从而导出改进的功能不等式。

应用价值的拓展：得到的改进HWI不等式、对数Sobolev不等式和Talagrand不等式，不仅具有理论意义，也在概率论、泛函分析和信息论中有潜在应用。熵衰减率的提高意味着相关的扩散过程具有更快的收敛速度，这可能在采样算法和统计估计中有重要应用。

本研究开辟了几何不等式研究的新途径，展示了最优传输和信息论工具在几何测度论中的强大潜力。未来工作可进一步探讨该方法在更广泛测度类上的应用，以及在实际问题中的实现。论文发表于《Advances in Mathematics》，体现了该研究在数学基础理论领域的重要价值。