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本文针对左迭代函数系统在双曲黎曼曲面上的收敛性问题展开研究。作者通过引入双曲畸变概念，系统分析了迭代映射序列的渐近行为，证明了在相对紧条件下存在唯一极限函数，并建立了收敛性与双曲畸变求和的等价关系。该研究深化了对迭代函数系统动力学的理解，为复动力系统理论提供了新工具。
在复动力系统研究中，迭代函数系统的渐近行为一直是核心课题。特别是左迭代函数系统，即形如Ln= fn° fn-1° ... ° f1的映射序列，其收敛性质对理解复杂动力系统的长期行为至关重要。传统研究多集中于单个映射的迭代，而对由不同映射组成的迭代系统的分析仍存在理论空白。当这些映射都是双曲黎曼曲面间的全纯映射时，系统会展现出丰富的动力学特性，但对其收敛机制的完整描述仍待深入探讨。
为系统研究左迭代函数系统的收敛性，研究人员在双曲几何框架下展开工作。通过引入双曲畸变f#这一关键概念，该量度映射了切空间上的度量收缩程度，为分析迭代过程的渐近行为提供了几何视角。研究主要采用双曲度量比较、相对紧性分析和自同构群作用等方法，建立了迭代系统收敛的充要条件。
主要研究结果包括以下几个方面的发现：
定理A：极限映射的存在性
通过构造适当的自同构γn∈ Aut(D)，证明了标准化序列γn-1° Ln在Hol(D,D)中收敛到某个全纯映射h。这一结果表明，任何相对紧的左迭代函数系统在经过适当的自同构调整后都会收敛。
推论B：收敛的等价条件
建立了系统收敛到常值映射的四个等价条件，包括存在子序列收敛到常值、存在点z0使得∑(1-fn#(z0))发散等。这为判断系统是否退化提供了实用判据。
推论C：双曲距离的渐近行为
发现复合映射的双曲距离ω(Ln(z), Ln(w))会收敛到极限映射的双曲距离ω(h(z), h(w))，揭示了迭代过程中几何结构的渐近稳定性。
定理E：非平凡极限的刻画
给出了极限映射非常值的充要条件，即双曲畸变项1-fn#(z)的求和收敛。这一结果将解析条件与几何行为联系起来。
定理H和定理I：不动点的渐近性
研究了当每个fn都有不动点an且an收敛时，系统的渐近行为，发现在一定条件下整个系统会收敛到常值映射。
研究还探讨了右迭代函数系统Rn= f1° f2° ... ° fn的对应性质。定理J表明，当存在后向轨道时，右系统也可以通过自同构调整而收敛。定理K则给出了右系统收敛到常值的等价条件。
在技术方法层面，研究主要依赖于双曲几何工具，包括双曲度量的收缩性质、双曲畸变的估计技巧，以及Arzelà-Ascoli型紧性定理在全纯函数空间上的应用。通过巧妙构造标准化自同构，将问题转化为对固定点附近映射行为的研究。
该研究的结论部分强调了双曲畸变在刻画迭代系统渐近行为中的核心作用。无论是左迭代还是右迭代系统，其收敛性质都可以通过双曲畸变的求和性质来刻画。当∑(1-fn#(z))收敛时，系统会收敛到一个非常值的全纯映射；当该级数发散时，系统则退化到常值映射。这一发现统一了对不同类型迭代系统的理解。
研究的创新性在于建立了双曲畸变与迭代系统渐近行为之间的深刻联系，为复动力系统理论提供了新的分析工具。特别是在处理由不同映射组成的迭代系统时，传统单映射迭代的理论不再适用，而本文发展的双曲几何方法为此类系统提供了系统的分析框架。
这些结果不仅在理论上完善了迭代函数系统的收敛性理论，而且在应用上为研究全纯映射的迭代行为、双曲几何中的收缩映射族以及复动力系统的长期演化提供了新视角。未来工作可望将这些工具应用于更具体的动力系统模型，进一步揭示复动力系统的丰富数学结构。
