三区域分段线性系统极限环研究：平行切换线下的存在性与最大数量分析

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Limit cycles for a class of piecewise linear systems with three zones separated by two parallel lines

本文针对由两条平行直线划分的三区域平面分段线性系统（PWL），深入探讨了其极限环的存在条件与最大数量。通过建立含11个参数的Liénard-like标准型，首次系统分析了穿越极限环（crossing limit cycle）与滑模极限环（sliding limit cycle）的生成机制，并证明在特定对称性及迹为零条件下系统最多存在三个极限环。该研究为理解非光滑动力系统的复杂动力学行为提供了重要理论工具，对（PWS）系统在工程与生物模型中的应用具有指导意义。

　　

^高亮

本文针对由两条平行直线划分的三区域平面分段线性系统（PWL），首次系统建立了含11个参数的Liénard-like标准型，为极限环的定量研究提供了新范式。

^{2. 预备知识与主要结果}

通过引理2.1证明当系统存在穿越所有切换线的闭合轨道时，参数需满足a₁₂^la₁₂^c>0与a₁₂^ca₁₂^r>0的关键条件。在此基础上，推导出系统可转化为标准型，并给出极限环存在性的系列判定定理。

^{3. 穿越极限环的存在性}

通过构建含扰动参数ε, δ的三区域PWS系统模型，分析其右端函数f(x,ε,δ)与g(x,ε,δ)的分段特性。当子系统函数满足f?_k(x,ε,δ)=f_k(x)+εp_k(x,ε,δ)形式时，系统可能产生穿越型极限环。

^{4. 滑模极限环的存在性}

当参数满足a_l≠a_c或a_c-2D_c≠a_r时，系统在切换线Σ_l或Σ_r上可能产生伪平衡点。通过引理4.1证明当b_l≠0且a_la_c≥0时（右侧类似条件），系统不存在伪平衡点，此时滑模极限环可能以六种构型出现。

^{5. 极限环的数量分析}

结合定理2.2与2.4证明系统最多存在两个极限环（一个穿越环与一个滑模环）。当滑模极限环存在时，通过分析条件(S₁-S₅₆)验证其唯一性。特别指出即使系统无实焦点，仍可能通过滑模机制产生极限环。

^{6. 具体算例}

通过三个典型案例分别展示：例A在迹为零（T_l=T_c=T_r=0）且满足条件(B₁)(C₁)时产生单个穿越极限环；例B构造出无实焦点条件下的滑模极限环；例C实现三个穿越极限环的配置，验证了理论上限的紧致性。