分数阶Musielak拉普拉斯抛物方程解的全局存在性与有限时间爆破分析

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Global existence and finite-time blow-up of solutions for parabolic equations involving the fractional Musielak Laplacian

本文首次系统研究了含分数阶Musielak拉普拉斯算子（(-Δ)gx,ys）的抛物方程，通过改进的势阱方法和Galerkin方法，建立了弱解/强解的局部存在性、全局存在性及有限时间爆破的完整理论体系，填补了该领域的研究空白。

　　

亮点

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  (a) 定理3.8中，我们通过将问题转化为一阶抽象发展方程，首次证明了分数阶Musielak拉普拉斯抛物方程强解的局部存在性，为研究解在无穷远处的渐近行为和有限时间爆破现象奠定了基础。
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  (b) 针对低初始能量和临界初始能量情形，我们通过构造稳定的Galerkin逼近格式，证明了全局弱解的存在性。特别地，当初始数据位于稳定集W时，解将始终保持在该集合内。
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  (c) 通过引入新型辅助函数和Levine凹性方法，我们首次证明了当初始数据属于不稳定集V时，强解会在有限时间内爆破，并给出了爆破时间的精确估计。
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  (d) 我们的工作将分数阶p-拉普拉斯和分数阶变指数p(x,y)-拉普拉斯的研究推广到更广泛的分数阶Musielak g_x,y-拉普拉斯框架，涵盖了对偶相位算子等新型非局部算子。

结论

本文系统建立了分数阶Musielak拉普拉斯抛物方程解的整体理论框架，包括局部/全局存在性、渐近行为和有限时间爆破等现象。通过发展新的分析工具和方法，我们解决了非齐次性带来的技术挑战，为该类方程在图像处理等领域的应用提供了理论基础。