双相梯度退化完全非线性椭圆方程的边界正则性研究

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Boundary regularity for double phase gradient-degenerate fully nonlinear elliptic equations

本文研究了具有哈密顿项的双相梯度退化完全非线性椭圆算子（double phase gradient-degenerate fully nonlinear elliptic operators）的黏性解（viscosity solutions）的正则性理论。作者首先证明了比较原理（comparison principle），随后利用改进的Ishii-Lions方法获得了内部H?lder正则性（interior H?lder regularity），并在适当结构条件下将H?lder估计推广至边界。该工作突破了传统一致椭圆性（uniform ellipticity）框架，为分析具有双重退化性（two-fold degeneracy）的方程提供了新工具，在最优控制（optimal control）、动力系统（dynamical systems）及异质介质扩散（diffusion in heterogeneous media）等领域具有应用价值。

　　

研究亮点

我们研究了一类包含完全非线性退化椭圆算子（fully nonlinear degenerate elliptic operators）和哈密顿项（Hamiltonian term）的方程。该类方程的一个显著特征是，其退化性既来自算子本身，也源于其变指数双相梯度结构（variable-exponent double phase gradient structure）。

引言

带有哈密顿项的退化椭圆算子出现在诸多领域，包括（确定性和随机性）最优控制（optimal control）、动力系统（dynamical systems）以及异质介质（heterogeneous media）中的大规模扩散现象研究。在本工作中，我们研究如下形式的变指数双相梯度退化方程黏性解（viscosity solutions）的内部和边界正则性（boundary regularity）：

(|Du|^γ₁(·)+ a(·)|Du|^γ₂(·))(F(D²u) + b·Du + H(Du, ·)) = f 在 Ω ?? R^N中,

其中 F 是一个退化椭圆算子（degenerate elliptic operator）并满足额外的Lipschitz连续性假设，b: Ω → R^N是有界且Lipschitz连续的，H 是受后文详述的结构条件约束的哈密顿项。指数函数 γ₁, γ₂∈ C(Ω) 满足 0 ≤ γ₁(x) ≤ γ₂(x) < ∞, 对所有 x ∈ Ω 成立，系数 a: Ω → R 是一个非负、有界且连续的函数。

主要结果

定理1.2 比较原理

设 Ω ?? R^N是一个有界域。设 (H1)–(H6) 成立。假设 u ∈ USC(Ω) 和 v ∈ LSC(Ω) 分别是某个方程的黏性下解（viscosity subsolution）和黏性上解（viscosity supersolution）。如果 u ≤ v 在 ?Ω 上成立，那么 u ≤ v 在 Ω 中成立。

定理1.3 内部H?lder正则性

设 B₁是中心在原点的单位球。假设 (H1)–(H6) 成立，且 f ∈ C_b^0,1(B₁)。那么，对于任意固定的 p ∈ R^N，任何满足振荡（oscillation）条件的该方程有界黏性解 u 在 B₁中是H?lder连续的，其H?lder常数与 p 无关。

定理1.4 边界正则性

设 (H1)–(H6) 成立，且 f ∈ C_b^0,1(B?₁) 满足 inf_B?1f > 0。假设 u 是所述Dirichlet问题（Dirichlet problem）的一个黏性解，且满足范数条件。那么，u 在 B_r∩ {y_N> ψ(y')} 中对每一个 r < 1 是 κ-H?lder连续的，其中 κ ∈ (0,1)。

结论

本文建立了一类结合了变指数双相梯度退化性、漂移项（drift term）和哈密顿项的新型算子的黏性解的正则性理论。主要成果包括比较原理、内部H?lder正则性和边界H?lder正则性，这些结果即使在简化情况下也是新的。