光滑射影曲面上辛吉向量丛的稳定性研究

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：On stability of syzygy bundles

本文综述了光滑射影曲面上，对应于充足且整体生成的向量丛的辛吉丛（Syzygy bundle）的稳定性问题。文章梳理了从线丛到高阶向量丛的辛吉丛稳定性研究的历程，重点介绍了在曲面上关于充足向量丛的最新定理及其证明思路，并指出了相关猜想在高维情形下的推广，为理解向量丛的几何性质提供了重要视角。

　　

亮点与主要结果

在这篇文章中，我们探究了光滑不可约射影曲面上，对应于充足且整体生成的向量丛的辛吉丛的稳定性。这是一个长期存在的问题，这些向量丛出现在各种几何和代数问题中。例如，在理解两个向量丛的整体截面张量积映射何时是满射，以及高阶秩的布里渊-诺特理论中，辛吉丛的稳定性都扮演着关键角色。

主要定理

令X是一个复光滑不可约射影曲面。令E是X上的一个充足且整体生成的向量丛，H是X上的一个充足除子，使得存在一条不可约光滑曲线C属于线性系|H|。进一步假设以下条件成立：

(1) 向量丛E与线丛O_X(-H)的张量积是整体生成的，并且其上的一阶上同调群H¹(X, E?O_X(-H))为零。

(2) 对于每一个生成E?O_X(-H)的整体截面线性子空间W，以及X上的每一个闭点x，自然的乘法映射H⁰(X, O_X(H)?m_x)?W → H⁰(X, E?m_x)是满射，其中m_x是点x处的极大理想层。

(3) 线丛O_X(H)的整体截面的复维数dim_CH⁰(X, O_X(H))不小于向量丛E限制在曲线C上的整体截面维数dim_CH⁰(C, E|_C)减去E的秩再加1。

(4) 限制在曲线C上的向量丛E|_C所对应的辛吉丛M_E|C是半稳定的。

那么，向量丛E所对应的辛吉丛M_E是H-稳定的。

推论与推广

作为上述定理的推论，我们得到了以下结果，它将文献[2]中的结论推广到了光滑曲面上的半稳定且整体生成的向量丛：

定理

令X是一个光滑复代数曲面，我们在其上固定一个非常充足的线丛H。假设E是X上一个秩为r的H-半稳定且整体生成的向量丛。那么，对于足够大的整数m?0，其对应的辛吉丛M_E(m)是H-稳定的，其中E(m)表示E与线丛O_X(mH)的张量积。我们的证明思路受到了文献[15]、[25]和[2]的启发。

结论

尽管关于对应于整体生成线丛的辛吉丛的（半）稳定性已有相当数量的文献，但对于对应于高秩整体生成向量丛的辛吉丛，在更高维光滑簇上的情况所知甚少。最近，对于光滑射影曲面X上的高秩稳定向量丛E，其对应的辛吉丛M_E的稳定性得到了研究。本文旨在研究光滑射影代数曲面上，对应于整体生成向量丛的辛吉丛的稳定性，并给出了在特定充分条件下保证其H-稳定性的有效判定定理，以及对于半稳定向量丛在充分扭动后其辛吉丛稳定的推广结果。