反变有限化解子范畴的有限性与纯性：模范畴中的函子环与表示类型研究

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Finiteness and purity of contravariantly finite resolving subcategories of the module categories

本文深入研究了左Artin环上反变有限化解子范畴（contravariantly finite resolving subcategories）的有限性与纯性性质。通过函子环（functor rings）和函子范畴（functor categories）的理论框架，建立了有限表示型（finite representation type）的新特征，推广了Auslander、Simson和Wisbauer的经典结果。特别探讨了包含Jacobson根的子范畴的有限性判据，并研究了n-簇倾斜子范畴（n-cluster tilting subcategories）和Gorenstein投射模（Gorenstein projective modules）的纯半单性猜想（pure semisimplicity conjecture），对Artin代数的表示论具有重要理论意义。

　　

主要结果

本节中，我们给出了具有_Xres.dim Λ-mod ≤ 2的有限表示型反变有限化解子范畴X的特征描述（通过其函子环）。同时，对于包含rad(Λ)的有限表示型反变有限化解子范畴X，我们通过Mod(X)给出了其特征。我们推广并统一了Auslander [4, Theorem 3.1]、Simson [39, Corollary 6.8] 和 Wisbauer [46, Theorem 3.1] 的经典结果。此外，我们还研究了当X是Λ-mod的协变有限子范畴（covariantly finite subcategory）且Mod(X^op)中每个单对象（simple object）是有限表现（finitely presented）时，局部有限表现范畴（locally finitely presented category）的纯半单性猜想。

定理A定理 3.1

假设Λ是一个左Artin环（left artinian ring），X是Λ-mod的一个反变有限化解子范畴。设{V_α| α ∈ J}是X中不可分解模的同构类的完全代表集，且T= ^?End_Λ(V)，其中V= ?_α∈JV_α。

• •
  (1) 下列陈述等价：
  • •
    (i) X是有限表示型且_Xres.dim Λ-mod ≤ 2。
  • •
    (ii) X是有界表示型（bounded representation type）且_Xres.dim Λ-mod ≤ 2。
  • •
    (iii) T是右完美环（right perfect ring）且l.gl.dim T≤ 2。
  • •
    (iv) T是左局部有限环（left locally finite ring）且l.gl.dim T≤ 2。
• •
  (2) 下列陈述等价：
  • •
    (i) T是右局部Noether环（right locally noetherian ring）且(lim^→X)中的每个模都是有限生成不可分解模的直和。
  • •
    (ii) T是右局部有限环（right locally finite ring）。
  • •
    (iii) V_T具有有限长度（finite length）。
• •
  (3) 如果T是右局部有限环且l.gl.dim T≤ 2，则X是有限表示型且_Xres.dim Λ-mod ≤ 2。反之，当_Xres.dim Λ-mod = 0时也成立。

定理B定理 3.6

设Λ是一个左Artin环，X是Λ-mod的一个反变有限化解子范畴，且包含rad(Λ)。则下列陈述等价。

• •
  (i) X是有限表示型。
• •
  (ii) X中不可分解模之间的任何同态族（family of homomorphisms）既是诺特的（noetherian）也是阿廷的（artinian）。
• •
  (iii) Mod(X)是局部有限的（locally finite）。
• •
  (iv) 对每个X∈ X，X(-, X)是有限的（finite）。
• •
  (v) 对每个单左Λ-模S，X(-, S)是有限的。

我们还刻画了模范畴的有限表示型协变有限子范畴。更精确地说，我们证明了以下结果。

命题C命题 3.8

设Λ是一个左Artin环，X是Λ-mod的一个协变有限子范畴。假设每个单X^op-模是有限表现的。则下列陈述等价。

• •
  (i) X是有限表示型。
• •
  (ii) (lim^→X)中的每个模都是有限生成模的直和。

应用

本节我们讨论主要结果的一些应用。

Krause和Solberg在[30, Corollary 2.6]中指出，Artin代数上有限生成模范畴的任何反变有限化解子范畴都是协变有限的。设Λ是一个Artin代数，并假设X是Λ-mod的一个函子有限子范畴（functorially finite subcategory）。利用[8, Theorem 2.3]和[7, Proposition 3.2]，我们可以看到Mod(X)和Mod(X^op)中的所有单函子（simple functors）都是有限表现的。因此，

结论

在本文中，我们研究了左Artin环Λ上反变有限化解子范畴和（协变有限从而是函子有限）子范畴的有限性和纯性性质。我们通过函子环和函子范畴给出了这些子范畴的有限表示型的特征。特别地，我们证明了如果函子环T是右局部有限环且整体维数不超过2，则反变有限化解子范畴X是有限表示型的。此外，对于包含Jacobson根的此类子范畴，我们通过其函子范畴的局部有限性给出了有限性的判据。这些结果推广并统一了该领域的若干经典定理，并为研究n-簇倾斜子范畴和Gorenstein投射模等相关结构的有限性与纯性提供了新的工具和视角。