分数阶扩散-波动方程在Lebesgue空间中的适定性与正则性理论

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Well-posedness and regularity theory for the fractional diffusion-wave equation in Lebesgue spaces

本文系统研究了具有Dirichlet边界条件的半线性分数阶扩散-波动方程在Lq(Ω)空间框架下的适定性、解的唯一性、最大存在区间、连续依赖性以及空间正则性。作者创新性地利用与拉普拉斯算子相关的分数阶幂尺度（fractional power scales），对问题相关的线性算子族进行了精细估计，建立了 mild solution 的存在性，并揭示了其瞬时正则化效应。该工作为处理超扩散问题（superdiffusive problems, α ∈ (1,2)）提供了有力的分析工具，在粘弹性力学、声学等领域具有重要的理论意义和应用价值。

　　

亮点 (Highlights)

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  本文致力于研究半线性分数阶扩散-波动方程。
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  我们提供了在与拉普拉斯算子相关的分数阶幂尺度下，与该问题相关的线性算子族的估计。
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  此外，我们分析了局部温和解（mild solution）的存在性和唯一性，以及它们向最大存在区间的可能延拓。
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  我们还考虑了空间正则性（spatial regularity）和关于初始数据的连续依赖性（continuous dependence）问题。

引言 (Introduction)

...（此处省略引言中间部分以聚焦于指定段落）...

从数学角度来看，对分数阶发展方程（fractional evolution equations）的研究，诸如解的存在性、唯一性、连续依赖性、正则性理论（包括空间和时间）、渐近行为分析以及特殊解的表征等主题，一直是该领域的突出课题，参见文献[1], [5], [6], [11], [12], [13], [16], [17], [18], [22], [26]。近年来，分数阶扩散-波动方程的分析取得了显著进展。例如，考虑Ω = Rⁿ，文献[10]的作者建立了L^r(Rⁿ)-L^q(Rⁿ)估计（其中1 ≤ r ≤ q ≤ ∞），并在小数据假设下证明了全局解存在两个临界指数。仍在Rⁿ的背景下，Djida等人[14]应用Caffarelli-Sylvestre延拓技术，获得了包含分数阶拉普拉斯算子的分数阶扩散-波动方程解的全局弱解和正则性性质。这两项工作都主要使用傅里叶变换方法作为证明其结果的主要工具。

在Ω ?? Rⁿ是有界开集的情况下，理论变得更加复杂，即使对于p=2也是如此。实际上，傅里叶变换无法使用，并且由于边界积分的存在，无法通过分部积分来获得估计。在此背景下，我们推荐Kian和Yamamoto的论文[21]，其中作者获得了Strichartz估计，并用它来证明在L²框架下广义半线性分数阶扩散-波动方程局部解的存在性。

这项工作的目标是研究半线性分数阶扩散-波动方程(1.1)的适定性结果和空间正则性理论。据我们所知，处理偏微分方程的一种有效方法与所采用的解的概念密切相关。为了确定我们寻找的解的意义，我们形式地对(1.1)应用拉普拉斯变换并得到...（后续推导过程，引出mild solution的定义）。受此论证和相关文献的启发，我们采用以下解的概念。

定义 1.1 (Definition 1.1)

一个满足(1.8)的连续函数 u : [0, τ] → L^q(Ω) 被称为问题(1.1)的温和解（mild solution）。

考虑在Y_q⁰= L^q(Ω) (1 < q < ∞)上具有Dirichlet边界条件的拉普拉斯算子Δ，其定义域为Y_q¹= W^2,q(Ω) ∩ W₀^1,q(Ω)。我们知道线性问题...（描述线性问题）...在L^q(Ω)中是适定的，对于所有α ∈ (0,1]且与1 < q < ∞无关。这是因为-Δ是一个扇形算子（sectorial operator），因此存在φ_q∈ (π/2, π)使得S_φq:= {z ∈ C : |arg(z)| ≤ φ_q, z ≠ 0} ? ρ(Δ)。如果λ ∈ S_φq且α ∈ (0,1]，我们有|arg(λ^α)| = α|arg(λ)| ≤ |arg(λ)|，因此λ^α∈ S_φq? ρ(Δ)且‖(λ^α- Δ)^-1‖_L(Yq⁰)≤ C|λ|^-α。利用这个性质，我们可以使用拉普拉斯变换方法，并验证Δ在L^q(Ω)中生成一个解析半群（analytical semigroup），对于所有1 < q < ∞。然而，在α ∈ (1,2)的情况下，情况发生了变化，因为(1.9)不再成立。事实上，如果λ ∈ S_φq且α ∈ (1,2)，那么|arg(λ^α)| = α|arg(λ)| > |arg(λ)|，也就是说，对于所有α ∈ (1,2)且与1 < q < ∞无关，λ^α∈ S_φq? ρ(Δ)并不成立。因此，相应的线性分数阶扩散-波动方程...（描述线性问题）...似乎在L^q(Ω)中不是适定的，对于所有α ∈ (1,2)且与1 < q < ∞无关，这与热方程的情况形成对比。然而，这与极限情况α=2是相容的，此时上述问题变成了线性波动方程，而关于适定性的结果取决于q。实际上，即使在Ω = Rⁿ的情况下，如果拉普拉斯算子在L^q(Rⁿ) (1 ≤ q < ∞)中生成一个余弦族（cosine family），那么n=1或q=2，参见例如[4, Theorem 8.3.12]。因此，有理由认为超扩散问题¹可能比次扩散问题²在数学上更具挑战性。

在第3节中，我们进一步研究了在超扩散背景下与拉普拉斯算子相关的线性族。我们分析的核心是族(E_α(t))_t≥0, (S_α(t))_t≥0和(R_α(t))_t≥0在与-Δ相关的分数阶幂尺度{X_q^β}_β∈R中的平滑效应（smoothing effect）。这项工作似乎是首次在此背景下探索这些族。我们证明它们是L^q(Ω)中的有界连续线性算子族，并且如果0 ≤ θ < β ≤ 1，则存在M > 0使得对于所有x ∈ X_q^β和t > 0，有‖E_α(t)x‖_Xq^1+θ≤ M t^-α(1+θ-β)‖x‖_Xq^β, ‖S_α(t)x‖_Xq^1+θ≤ M t^{1-α(1+θ-β)}‖x‖_Xq^β，以及‖R_α(t)x‖_Xq^1+θ≤ M t^-1-α(θ-β)‖x‖_Xq^β。特别地，从上述估计可以得出，对于所有t > 0，从X_q¹到X_q^1+θ的算子t^αθE_α(t)是有界线性算子，满足‖t^αθE_α(t)‖_{L(Xq¹, Xq^1+θ)}≤ M，其中M > 0与t > 0无关，对于所有0 ≤ θ ≤ 1。此外，给定X_q¹的一个紧子集J，我们有lim_t→0⁺sup_x∈J‖t^αθE_α(t)x‖_Xq^1+θ= 0。为了证明最后一个断言，只需观察到算子t^αθE_α(t) : X_q¹→ X_q^1+θ在t > 0上是一致有界的，对于x ∈ X_q^1+θ有lim_t→0⁺‖t^αθE_α(t)x‖_Xq^1+θ= 0，并且X_q^1+θ是X_q¹的稠密子集。类似的性质可以证明对(S_α(t))_t≥0和(R_α(t))_t≥0也成立。

前面的估计为建立L^q(Ω)框架下的温和解（mild solution）的存在性提供了基本框架。特别地，当初始数据(u₀, u₁) ∈ L^q(Ω) × L^q(Ω)时，在定理4.1中，我们证明了问题(1.1)存在唯一的温和解u ∈ C([0, τ], L^q(Ω))，该解可以延拓到一个最大存在时间τ_max> 0，使得如果τ_max< +∞，则有lim sup_t→τmax^-∫_Ω|u(t,x)|^qdx = +∞。在这一点上，我们想强调分数阶幂尺度已被证明是研究正则性问题的有效工具。这些空间为测量解的空间正则性提供了一种精确的方法。利用它们，我们证明了(1.1)的温和解表现出瞬时正则化效应（immediate regularization effect）。准确地说，对于所有0 ≤ θ < β，我们有u ∈ C((0, τ], X_q^1+θ)，并且如果θ > 0，则lim_t→0⁺t^αθ‖u(t)‖_Xq^1+θ= 0。鉴于X_q^1+θ? L^q(Ω)，可以得出X_q^1+θ是比L^q(Ω)更正则的空间。据我们所知，这种处理(1.1)的方法在本文中是首次提出。

结论 (Conclusion)

这项工作的结构如下。在下一节中，我们将半线性分数阶扩散-波动方程(1.1)改写为在合适的巴拿赫空间尺度下的抽象发展问题。在第3节中，我们详细分析了在第2节定义的线性算子A_q: X_q¹? X_q⁰→ X_q^{0相关的分数阶幂空间尺度X_qβ:= Y_qβ-1, β ∈ R中的族(E_α(t))_t≥0, (S_α(t))_t≥0和(R_α(t))_t≥0。第4节包含我们的主要结果的陈述和证明，以及一个说明其适用性的三维具体例子。}