非线性薛定谔方程怪波求解的复合函数降维法及其应用

《Chinese Journal of Physics》：A New Reduction Method to Find Rogue Waves of the Nonlinear Schro....dinger Equation

本文提出一种高效的复合函数降维法（Composite Function Reduction Method），用于求解聚焦型非线性薛定谇方程（NLS）的怪波（Rogue Waves）。该方法通过将非线性色散关系中的常数参数推广为函数形式，并采用线性微分算子（如?λk）替代传统非线性算子（如[f(p)?p]k），显著简化了怪波解析表达式的推导过程。研究拓展了Grammian技巧的适用范围，为孤子理论提供了新的降维技术，在海洋物理、光学纤维等领域具有重要应用价值。

　　

Section snippets

General Grammian solutions to Davey-Stewartson I equation

为将DSI方程（Davey-Stewartson I Equation）的Grammian解简化为聚焦型NLS方程的解，我们首先回顾DSI方程的Grammian解形式。通过引入实变量f和复变量g，DSI方程可转化为双线性形式（Bilinear Form）。该双线性方程可进一步重写为更简洁的表达式，为后续降维提供基础。

The rogue waves of the focusing nonlinear Schr?dinger equation

基于DSI方程与NLS方程的关联性，通过将自由参数调整至特定值，可从DSI方程的怪波解直接导出NLS方程的怪波解。为实现空间维度的缩减（如A(x,y,t)→A(y,t)），需设定e_ij=0、ξ_i0(λ_i)=η_j0(μ_j)=0，并精细调整系数a_i,i-k→a_i-k/k!、b_j,j-l→b_j-l/l!，同时将n_i、n_j映射为整数索引。这一过程通过线性算子操作显著降低了计算复杂度。

Conclusions

本研究提出的线性微分算子与复合函数降维法（Composite Function Reduction Method）为求解聚焦型NLS方程的怪波提供了一种新颖且高效的途径。相较于传统非线性算子（如[f(p_i)?_pi]^k），线性算子（如?_λ^k）的应用大幅简化了解析推导，使怪波表达式更简洁。该方法通过扩展Grammian技巧的参数适用范围，丰富了孤子理论的降维工具库，在物理建模与工程应用中具有潜力。