综述：番茄成熟数学模型：构建、验证与采后决策支持

《Computers and Electronics in Agriculture》：Mathematical modeling of tomato ripening: Formulations, validation, and postharvest decision support — A review

本综述系统梳理了番茄成熟过程的五大数学模型家族（经验S型曲线、温度动力学、机理ODE/PDE、生存分析、状态空间模型），提供了从模型选择、参数辨识到验证的完整路线图，特别强调防数据泄漏（leakage-safe）验证与不确定性量化，旨在为跨品种、季节和包装方案的采后决策支持（postharvest decision support）提供可靠工具。

　　

番茄成熟的生物学基础与可控驱动因素

番茄（Solanum lycopersicum L.）作为跃变型果实，其成熟过程由呼吸速率和乙烯信号协同升高所驱动，导致色素转化和细胞壁重构。这一生物学机制为定量描述和预测提供了基础。采后控制主要通过温度和气体环境实现。温度通过Arrhenius或Q₁₀关系影响反应和运输速率，而气体环境（O₂、CO₂、痕量乙烯）则通过调节呼吸和信号通路影响成熟进程。包装将果实生理与顶空气体通过渗透和对流耦合起来，因此顶空体积、薄膜面积/厚度和气体传输特性成为模型中的关键边界条件参数。

模型家族与数学表述

研究者将番茄成熟模型归纳为五个主要家族，每个家族针对不同的目标和数据条件。

经验S型曲线模型

此类模型用于描述颜色或硬度等平滑、单调的成熟观测指标，通常用于预测或阶段定位，而非机理推断。常用的四参数Logistic曲线形式为：y(t) = y_min+ (y_max- y_min) / [1 + exp(-k(t - t₀))]。其优点是参数少、易于解释和快速拟合小数据集，适用于单一品种/批次在可控储存下的轨迹预测。使用时需注意其假设单一动力学机制，无法处理剧烈的状态转变。

温度依赖性动力学模型

当需要量化温度对成熟或软化速率的影响时，常采用Arrhenius定律（k(T_abs) = k₀exp(-E_a/(R T_abs))）或Q₁₀关系（k(T) = k_refQ₁₀^{(T - T_ref)/10}）。此外，热时间（thermal time）模型将时变温度剖面汇总为累积度日数：θ(t) = ∫₀^tmax(0, T(τ) - T_base) dτ。这些模型是连接实验室加速测试与冷链中时间-温度历史的桥梁，适用于中等、单一温度区间内的速率编码。

机理质量平衡ODE与反应-扩散PDE模型

机理模型明确地将商品呼吸和乙烯产生与顶空气体交换和包装渗透耦合起来。简化的顶空O₂平衡ODE为：V_hdpO₂/dt = -M_frO₂(T, pO₂) + A_fΠ_O2(pO_{2, ext}- pO₂)。当需要考虑果实组织内的浓度梯度时，则使用反应-扩散PDE：?c_g(x,t)/?t = D_g?2c_g(x,t) - r_g(c_g(x,t), T)。这类模型用于设计和评估气调包装（MAP）或可控气氛（CA）系统，预测气体瞬态变化，并探索替代包装和装载策略。

生存/时间-事件模型

该模型用于估计达到特定成熟度等级或触及拒绝阈值（如感官拒绝）的时间分布，能自然处理删失数据并纳入温度、气体等协变量。参数加速失效时间（AFT）模型形式为：log T_i= x_i^?β + σ ε_i。比例风险（PH）模型则指定风险函数为：h(t|x) = h₀(t) exp(x^?β)。该模型特别适用于决策问题自然框架为时间阈值（如最佳成熟时间、拒绝时间）的场景，并可扩展至竞争风险分析。

混合/状态空间模型

状态空间模型将潜在过程动力学与噪声观测分离开，特别适用于将连续传感器数据流与机理或半机理模型融合，进行滤波、平滑和短时程预测。其一般非线性形式为状态方程：x_t+1= f(x_t, u_t, θ) + w_t和观测方程：y_t= g(x_t, θ) + v_t。对于线性高斯情况，卡尔曼滤波器族提供最优估计；对于非线性情况，则使用扩展卡尔曼滤波（EKF）、无迹卡尔曼滤波（UKF）或粒子滤波（SMC）等方法。该框架适用于需要从冷链传感器进行在线状态估计的任务。

模型估计、验证与实操指南

模型的参数估计通常在明确的观测模型下进行，采用加权最小二乘法、最大似然估计或贝叶斯方法。可辨识性检查（如轮廓似然度诊断）至关重要，它能揭示参数间的耦合关系，从而指导有针对性的实验重新设计。模型选择应遵循简单性原则，并使用防数据泄漏的交叉验证（如按批次/日期分组）进行评估。

验证协议强调外部测试（在不同地点、季节、包装类型上评估）和内部验证（使用分组交叉验证）相结合。报告标准应关注区分度（如C指数）、校准度（如校准曲线、ICI）和预测区间覆盖率。敏感性分析（SA）用于量化输入和参数不确定性对模型输出的影响，推荐使用Morris法进行初步筛选，再使用基于方差的方法（如Sobol'指数）进行定量归因。

决策支持与未来展望

这些模型的输出可直接转化为采收调度、冷链控制、包装设计、库存周转（FEFO）等操作策略。例如，剩余货架期预测可驱动基于预测剩余寿命的“先到期先出”策略；机理气体交换模型支持气调包装的“按计算设计”；状态空间模型能实现剩余货架期的实时估计。不确定性应通过预测区间或风险带的形式暴露给决策者，分布无关的 conformal prediction 方法能提供校准的预测区间。

总之，通过系统化的模型选择、严谨的验证和不确定性量化，数学模型能够为番茄采后供应链提供可靠的决策支持，最终减少损失并提升经济效益。未来的工作应关注模型在不同品种和条件下的泛化能力，并促进模型代码和数据的共享以实现可重复性。