具有强制接口约束的离散物理信息神经网络，用于域分解

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Discrete physics-informed neural network with enforced interface constraint for domain decomposition

提出一种结合强制界面约束（EIC）与领域分解方法（DDM）的离散物理信息神经网络（dPINN），通过元素级能量计算和接口位移连续性约束，解决传统方法依赖额外损失项导致的训练不稳定问题，同时支持非匹配网格划分和高效并行计算，适用于复杂几何场景。

　　
该研究聚焦于物理信息神经网络（PINNs）与领域分解方法（DDM）的融合创新，针对传统领域分解PINNs存在的训练稳定性差、网格匹配依赖强等问题，提出了一种基于能量基离散与强制界面约束的复合框架（EIC-DDM-dPINN）。该框架通过重构能量计算范式与界面约束机制，实现了复杂几何场景下高精度、高稳定性的并行计算，为大规模工程问题求解提供了新思路。

在背景研究方面，领域分解方法通过将复杂计算域划分为多个子域，显著提升了计算效率并支持分布式训练。但现有方法存在双重困境：一方面需要依赖密集的采样策略维持界面连续性，导致模型泛化能力受限；另一方面在引入额外约束项（如界面通量损失）时容易引发训练不稳定问题。典型案例如保守PINN（cPINN）通过通量连续性约束解决网格不匹配问题，但需引入辅助物理量导致损失函数复杂化；扩展型PINN（XPINN）虽能处理非凸几何，但其全局通量约束仍面临稳定性挑战。

研究团队通过系统性文献调研发现，当前领域分解PINNs主要存在三大技术瓶颈：其一，网格离散的物理一致性依赖人工设计，难以适应复杂几何变形；其二，界面约束机制多采用惩罚项或额外方程，导致损失函数平衡困难；其三，现有方法对计算资源分配缺乏动态优化，制约了大规模并行训练效率。针对这些问题，提出的EIC-DDM-dPINN框架通过三个核心创新实现了突破。

首先，在能量计算范式上引入元素级离散技术。传统方法采用全局高斯积分计算系统总能量，而本框架创新性地将计算域划分为元素单元，每个单元独立进行高斯积分加权求和。这种元素级处理方式既保留了有限元方法的空间离散优势，又通过局部能量计算大幅降低全局优化时的梯度震荡问题。实验表明，元素级离散可将能量计算误差降低至传统方法的1/3，特别是在处理三维非均匀网格时，计算效率提升达2.8倍。

其次，开发强制界面约束（EIC）机制替代传统损失项。该机制通过位移连续性条件自然嵌入物理约束，无需额外引入通量项或惩罚系数。具体实现中，采用相邻子域元素的位移插值技术，当两个子域存在几何间隙时，自动通过局部特征匹配重建连续位移场。这种设计不仅规避了传统方法中因界面通量计算导致的数值不稳定，还显著简化了损失函数的构造过程。数值实验对比显示，EIC机制使模型收敛速度提升约40%，在出现20%的网格不匹配时仍能保持98%以上的位移连续精度。

第三，构建动态并行计算架构。在传统领域分解方法中，子域划分与硬件资源分配存在刚性约束，而本框架创新性地将计算资源动态分配机制与物理约束条件相结合。每个子域训练时自动计算能量基离散值，通过EIC机制实现跨子域的位移连续性校验。实验采用8路GPU分布式训练，在三维复杂几何（含5种不同材料交界面）场景下，计算时间缩短至传统方法的1/6，同时保持99.2%的原始精度。

理论分析表明，该框架有效解决了弱空间连续性（WSC）效应。传统方法中，几何不连续会导致能量守恒条件失效，产生虚假的位移连续表象。EIC机制通过元素级能量计算和位移插值技术，将能量守恒约束分解为局部单元的物理平衡，再通过整体叠加实现全局守恒。数值实验证明，在存在0.1mm间隙的三维裂纹扩展模拟中，能量守恒误差从传统方法的15.7%降至2.3%，且梯度稳定性提升2个数量级。

应用层面，该框架展现出显著的泛化能力。在汽车轻量化结构（包含32个异质材料子域）的有限元-神经网络混合求解中，EIC-DDM-dPINN仅需40%的数据量即可达到传统方法95%的预测精度，且训练时间缩短60%。特别在处理含曲率边界（曲率半径<50mm）的航空复合材料问题时，传统方法因网格畸变导致能量计算失效，而本框架通过元素级离散成功保持计算稳定性。

技术实现方面，开发的双层网络架构有效平衡了计算效率与模型表达能力。底层网络采用元素单元为基本计算单元，每个单元集成物理约束模块；顶层网络则通过特征提取实现跨子域的信息融合。这种设计使网络参数量减少35%，同时保持与全连接网络相当的特征提取能力。在并行训练时，各子域网络独立优化，通过EIC机制定期交换位移连续性信息，形成高效的分布式计算模式。

性能验证部分，研究团队构建了包含12类典型工程场景的测试集，涵盖材料相变（三维20μm尺度）、大变形接触（单轴压缩量>60%）等极端工况。对比实验显示，在相同硬件条件下，EIC-DDM-dPINN在99.8%的测试案例中达到或超过传统方法（包括cPINN、XPINN、PPINN）的90%置信区间精度，训练稳定性指数（TSI）提升至0.92（传统方法平均0.65）。在百万网格量（约2.3亿节点）的三维轴承接触问题中，该框架成功实现48小时内的收敛，且结果通过ASME认证标准验证。

理论创新层面，研究首次系统论证了元素级能量计算的收敛性。通过构建能量泛函的双层优化模型，证明当子域划分满足要素可加性条件时，EIC机制能保证位移连续性误差在O(h2)量级（h为最大元素尺寸）。这种理论保证使得该方法在超大规模问题（>10亿网格）中仍能保持计算稳定性，而传统方法在此规模下通常出现数值发散。

应用扩展性方面，研究团队成功将该方法迁移至非结构网格（三角形/四边形混合网格）和动态边界场景。在可变厚度壳体结构的热力耦合模拟中，EIC-DDM-dPINN实现了连续10万步的稳定计算，而传统方法在5万步后出现能量不守恒现象。这种动态适应能力使其特别适用于实时仿真系统。

该研究的工程价值体现在三个方面：其一，通过元素级离散降低了对网格质量的敏感性，使复杂几何建模的误差从传统方法的12.7%降至2.8%；其二，EIC机制减少了50%以上的无效计算量，在NVIDIA A100集群上的实测显示，训练吞吐量提升至3.2×10^9 FLOPS；其三，提出的分布式训练协议支持千卡级GPU集群的动态负载均衡，在处理含5000+子域的航空发动机冷却系统模拟时，资源利用率达到92%。

未来研究方向建议在动态拓扑适应和跨尺度建模方面深化研究。当前框架对子域拓扑变化仍存在刚性约束，需探索基于注意力机制的自适应子域划分策略。同时，在处理含相变、损伤演化的多尺度问题中，建议引入多物理场耦合的EIC扩展模块，以进一步提升工程适用性。

这项研究不仅为物理信息神经网络提供了新的理论框架，更在工程计算领域实现了突破性进展。其核心思想——将全局约束分解为局部能量优化——为解决其他类型约束问题（如拓扑优化、多目标优化）提供了方法论启示。通过建立完整的理论分析体系、丰富的实验验证平台和可扩展的软件框架，该研究为工业界提供了可落地的技术解决方案，特别是在汽车制造、航空航天等需要处理复杂几何和大规模计算的场景中，具有显著的应用价值。