具有玩家退出和加入的网络进化博弈的建模与定点分析

《Expert Systems with Applications》：Modeling and Fixed-Point Analysis of Network Evolutionary Games with Player Exit and Join

本文研究具有玩家退出与加入机制的网络进化博弈（NEGs），提出新策略更新规则并利用半张量积（STP）方法将其转化为代数形式，推导了固定点的充要条件，设计了算法并举例验证有效性。

　　

孙瑞晨|闫鹏飞|刘福坤|张浩

太原理工大学计算机科学与技术学院（数据科学学院），晋中市，030600，山西省，中国

摘要

本文研究了具有玩家退出和加入机制的网络进化博弈（NEGs），利用半张量积（STP）将其转化为代数形式。首先，我们将退出视为一种特殊策略，当玩家的收益低于某个阈值时，玩家会选择退出。然而，一旦退出玩家的相邻玩家的收益超过某个阈值，该玩家将重新加入游戏。基于这一定义，提出了一种全新的策略更新规则。其次，使用STP对具有玩家退出和加入机制的NEGs进行了线性表示。此外，还提出了一种确定具有玩家退出和加入机制的NEGs不动点的方法。最后，通过一个例子验证了关于具有玩家退出和加入机制的NEGs不动点变化的新结论的有效性。

引言

进化稳定策略（ESS）这一激进的概念由Maynard Smith和Price在1973年提出（Smith，1984年），标志着进化博弈论的诞生。随着学者们对进化博弈论的不断探索，它已与其他领域相结合，并取得了相应的成果（nes, Romance, Criado, Vilone, & Sánchez (2011); Hamlin (1987); Nowak & Sigmund (2004)）。进化博弈论中包含多种类型的博弈，其中网络进化博弈（NEGs）是大多数学者的研究目标。在NEGs的定义中，每个玩家仅与网络图中的相邻玩家进行博弈，而不是与所有玩家进行博弈。利用个体作为节点、影响作为边的网络框架，学者们通过NEGs分析了策略演化（Li, Zhao, & Chen (2022); Li, Wang, & Li (2024); Liu, Wang, Chen, & Guan (2024a); Wang, Zhang, Wang, & Li (2026)）。

尽管从NEGs研究中获得了许多有意义的发现，但由于缺乏强大的数学工具，深入的分析受到了限制。这一障碍促使Cheng & Cheng (2009)开发了矩阵的半张量积（STP），这是一种为逻辑系统分析设计的标准矩阵乘法的扩展。通过将逻辑系统转化为代数形式，STP在有限值网络（如布尔网络Chen, Wu, Macauley, & Sun (2019); Cheng, Zhang, & Bi (2023）和多值逻辑网络Zhong, Lu, Huang, & Ho (2017）的研究中取得了实质性进展。由于网络进化博弈与多值网络之间存在相似性——即博弈中的玩家与多值网络中的节点之间的类比，以及博弈中玩家可用的策略与多值网络中节点状态之间的相似性——我们也可以使用STP将网络进化博弈转化为代数形式以便进一步研究（Cheng, He, Qi, & Xu (2015）。在多值网络中，学者们可以分析代数转化模型的可控性和稳定性（Liu, Feng, Leone, Fu, & Xia (2025); Zhong, Lin, Wang, & Wang (2024); Zhao, Song, & Li (2025)）。此外，多值网络的动态分析也是学者们的重要研究方向（Zhang, Ji, & Cheng (2024); Motoyama, Kobayashi, & Yamashita (2024); Liu, Liu, Yerudkar, & Vecchio (2024b)）。鉴于上述网络进化博弈与多值网络之间的相似性，分析网络进化博弈的稳定性和动态性是非常必要的。例如，Gao, Gao, Wang, & Yang (2019)研究了具有时间延迟的网络进化博弈的稳定性和控制序列，Sun, Sun, Zhang, Zou, Zhang, & Liu (2025)研究了异步更新下级联NEGs的吸引子和吸引域，Zhu Rui, Zengqiang, Jianlei, & Zhongxin (2021)分析了加权NEGs的不动点。值得注意的是，大多数关于NEGs的研究仅关注固定网络。

然而，现实世界的博弈网络并不是固定的，而是随着玩家收益的变化而演变。一个典型的例子是，玩家可能会因为收益低而退出游戏，也可能因为其他玩家的高收益而加入游戏。尽管已经通过严厉的触发条件（Sigmund, 2010）和自愿参与（Batali & Kitcher, 1995; Hauert, Monte, Hofbauer, & Sigmund, 2002; Hauert & Szabó, 2003）以及基于抱负的规则（如“赢则留，输则退”Posch, 1999; Selten, 1998）研究了玩家退出和加入的行为，但这些模型无法分析离散时间下的玩家策略选择。因此，我们将STP引入NEGs中，通过它们的代数表示来详细分析玩家的策略选择。

受上述内容的启发，本文研究了具有玩家退出和加入机制的NEGs的不动点。在这种类型的游戏中，当前参与的每个玩家根据他们当前轮次的总收益除以他们互动的玩家数量来决定是否退出游戏。已经退出游戏的玩家仍然可以观察游戏中相邻玩家的收益。当相邻玩家的平均收益达到他们的加入阈值时，该玩家将在下一时刻重新加入游戏。本文的主要贡献如下：

• 1.
  与Tang, Li, & Lu (2022)中的NEGs不同，这些NEGs仅具有退出机制，本文提出了一种新的策略更新规则（SUR）来描述同时具有玩家退出和加入机制的NEGs。
• 2.
  将玩家的退出视为一种特殊策略，并允许玩家重新加入游戏。之后，我们使用STP将具有玩家退出和加入机制的NEGs转化为代数形式，并提供了相应的转换算法。
• 3.
  推导出了具有玩家退出和加入机制的NEGs中确定不动点的必要和充分条件，并提出了一种识别吸引子及其基的算法。此外，还提出了一个关于玩家退出对原始NEGs不动点变化影响的定理。

本文的其余部分组织如下。第2节提供了关于矩阵STP和基本网络博弈（FNG）的基本预备知识。第3节提出了一个结合了玩家退出和加入机制的NEG模型，以及相应的策略更新规则（SUR）。然后，该节使用STP方法将模型转化为代数形式，并提供了相应的算法。最后，该节提出了一个用于确定给定NEGs中吸引子及其基的算法，并分析了不动点的变化。第4节提供了一个例子来验证主要结果的有效性。第5节总结了本文的主要发现，列出了本工作的局限性，并提出了未来的研究方向。

符号说明

为避免读者产生不必要的困惑，本文解释了一些基本符号的含义。

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  $R$ 包含所有实数的集合。
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  $Z^{+}$ 表示所有正数的集合。
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  I_n 表示一个N维的单位矩阵
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  $1_m$ 表示一个所有元素都为一的m维行向量。
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  Col(L) 表示矩阵L的列向量组成的集合。
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  Δ_n???Col(I_n) 表示单位矩阵I_n的列空间。
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  ${\delta }_n^i:=Co{l}_i\left(I_n\right)$

模型描述

在具有玩家退出和加入机制的网络进化博弈中，当前参与的每个玩家根据他们当前轮次的总收益除以他们互动的玩家数量来决定是否退出游戏。已经退出游戏的玩家仍然可以观察游戏中相邻玩家的收益。如果相邻玩家的收益对退出玩家有足够的吸引力——即不低于他们的加入阈值——那么退出玩家将在下一轮重新加入游戏。

示例

示例2

五个供应商在一个城市的不同地区运营，他们的供应区域有重叠。在这些重叠区域，他们必须相互竞争。每个供应商可以选择以高价或公平价格（或固定价格）出售产品，他们的策略选择会产生不同的收益。此外，如果利润太低，供应商可以退出竞争；但如果其他供应商获得高利润，他们也可以加入竞争。我们可以量化这五个供应商之间的竞争

结论

本文研究了具有玩家退出和加入机制的NEGs，获得了这些NEGs的代数表示，并通过这种代数表示分析了它们的不动点。首先，我们提出了具有玩家退出和加入机制的NEGs中玩家的策略更新规则，并通过将退出视为一种特殊机制，将给定的NEGs转化为传统的NEGs。其次，我们提出了一种算法来计算玩家的收益矩阵，并使用STP获得代数表示

CRediT作者贡献声明

孙瑞晨： 方法论、写作——初稿撰写、审阅与编辑。闫鹏飞： 监督、验证。刘福坤： 验证、写作——审阅与编辑。张浩： 数据整理、方法论。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争财务利益或个人关系。