在多稳态系统中，由异质性主导的离散相变：一个统一的双稳态链框架

《International Journal of Engineering Science》：Heterogeneity-dominated discrete phase transitions in multistable systems: A unified bistable chain framework

提出异质多稳态链模型，通过三线性力-位移关系描述不同相变阈值元素，揭示耦合相变机制及异质性对相变路径的影响，并验证梯度超材料设计。

　　

P.Q. 李 | K.F. 王 | B.L. 王

哈尔滨工业大学理学院，中国深圳 518055

摘要

多稳态系统以其能够经历离散相变的特点，支撑了从弹性超材料到蛋白质展开等一系列现象和应用。然而，传统双稳态链模型的基本假设是均匀性，这限制了它们只能预测均匀传播的相变，从而忽略了现实世界中异质系统的顺序性、路径依赖行为。为了解决这一限制，我们开发了一个由不同双稳态元素组成的半解析异质双稳态链模型。每个元素都用具有不同相变阈值的三线性力-位移关系来描述。两个极限路径——最小能量（热力学平衡）路径和最大滞后（非热）路径——被推广以考虑异质性。它们提供了包含所有可能机械响应的理论框架。此外，通过异质双稳态链模型，我们解析地揭示了耦合相变的机制：这是一种独特的异质多稳态系统现象，其中一个元素的相变可以诱导其他元素的相变。所提出框架的预测能力通过设计梯度多稳态超材料得到了验证，理论预测与有限元模拟和实验测量结果非常吻合。这项工作不仅提供了对异质系统中离散相变的基本理解，还提供了一个用于具有可编程相变路径的结构设计的有效简化模型。

引言

多稳态系统的特点是其能量景观具有多个稳定平衡态，在自然和工程应用中起着关键作用（Laurent & Kellershohn, 1999; Xu et al., 2023; Chen et al., 2026; Korakh & Medina, 2025）。这些系统的核心吸引力在于它们能够在机械、电或热载荷等外部刺激下经历离散的非线性相变，从而显著改变其整体性能（Forterre et al., 2005; Harkai et al., 2020; Greenwood et al., 2025; Zhang et al., 2025）。在工程领域，这一原理为创造多功能结构提供了肥沃的土壤，包括具有可编程刚度的机械超材料（Zheng et al., 2024; Wei et al., 2025）、能够进行复杂运动和操作的软体机器人（Liu et al., 2025; Mirramezani et al., 2024; Shahryari et al., 2025），以及用于可调能量吸收和耗散的多孔材料（Rafsanjani et al., 2015; Yao et al., 2024）。如图1（a）所示，弹性超材料的应力-应变曲线通常呈现出明显的锯齿状图案，每个峰值对应一个离散的相变事件。值得注意的是，在分子尺度上也观察到了类似的机械特征。蛋白质结构域的力诱导折叠和展开（Lapidus, 2017; Benichou & Givli, 2013）是一个典型的多稳态转变例子，产生了图1（b）中所示的特征性锯齿状力-伸长曲线。尽管这些响应在长度尺度上相差几个数量级，但它们之间的显著相似性突显了一个共同的潜在原理：它们的整体响应是由以串联链状结构排列的基本双稳态或多稳态元素的集体行为决定的。

为了理论上捕捉和预测这种复杂的集体行为，提出了双稳态链模型（Puglisi & Truskinovsky, 2000）。这个基本框架考虑了最简单的均匀多稳态系统，即一维串联的相同双稳态元素。得益于其简单性和分析可行性，该模型为捕捉各种有趣的材料行为提供了新的见解，包括塑性（Puglisi & Truskinovsky, 2002）、形状记忆效应（Sun & He, 2008; Yang et al., 2023）、断裂（Del Piero & Truskinovsky, 2001）、元流体（Peretz et al., 2022）和材料相变（Ni & Gao, 2019）等。此外，随着对多稳态系统研究的深入，经典的双稳态链模型得到了进一步发展。值得注意的扩展包括：引入最近邻（NNN）非局部效应来模拟形状记忆合金（Truskinovsky & Vainchtein, 2004; Puglisi, 2006）；推广到更高维的2D多稳态晶格（Nitecki & Givli, 2021; Shohat et al., 2022）；将链与弹性基础耦合（Roller et al., 2024）；以及包含晶格动力学（Deng et al., 2020; Meaud, 2020）、外部磁场（Schaeffer & Ruzzene, 2015）和热波动（Florio & Puglisi, 2023; Benichou & Givli, 2015）等物理因素。尽管这些扩展模型的复杂性不断增加，但它们的核心仍然建立在了一个共同的理想化假设之上：系统的所有基本元素都是完全相同的。

如前所述，经典的均匀双稳态链模型非常有价值。其主要优势——简单性和分析可行性——为均匀多稳态系统的相变行为提供了深刻的物理见解。然而，这些优势直接源于其均匀性的理想化假设，而忽略了现实世界系统中一个关键且普遍存在的因素：异质性（Benedito & Giordano, 2020）。在物理世界中，异质性无处不在。它可能表现为在超材料制造过程中引入的微小几何或材料缺陷形式的“淬火无序”（Bhuwal et al., 2021; Zaiser & Zapperi, 2023; Liu et al., 2024; Peng et al., 2024）；它也可以是故意的设计特征，例如为了实现特定性能的功能梯度（Li et al., 2023; Ciavarella, 2024; Li et al., 2025）；或者在生物分子中，它可能由特定氨基酸序列赋予的热力学稳定性变化引起（Dagan et al., 2013; Carrion-Vazquez et al., 1999）。这种异质性的存在不仅仅是理想行为的扰动，而可以根本性地重塑系统的机械响应，产生远超均匀模型范围的复杂现象。这些现象包括层次化和多步相变序列（Liu et al., 2024; Ducarme et al., 2025）、雪崩式的能量释放（Chen et al., 2021; Omar & El-Awady, 2025）和路径依赖的记忆效应（Bense & van Hecke, 2021; Ding & van Hecke, 2022）。因此，均匀模型无法捕捉强烈受异质性驱动的现象，这在当前研究中造成了一个困境。一方面，研究人员可以使用易于处理的均匀模型来获得分析上的物理见解，但这些见解仅限于由相同或略微不同的双稳态元素组成的系统。另一方面，越来越多的工作开始探索异质多稳态系统，并取得了显著进展（Liu et al., 2024; Findeisen et al., 2017; Muhaxheri & Santangelo, 2024）。这些研究主要依赖于数值模拟（Chen et al., 2021; Liang et al., 2023; Hua et al., 2024; Ji et al., 2024），如有限元方法（FEM）和分子动力学（MD）。它们的高计算成本阻碍了多稳态系统的快速设计，而它们的“黑箱”性质可能阻碍了对相变机制的深入理解。因此，迫切需要一个简化的降阶模型来填补这一空白，该模型能够准确捕捉异质性的影响，同时保持分析所需的简单性。

为了解决这些挑战，本研究开发了一个新的异质双稳态链模型。我们的主要目标是获得关于双稳态元素特性（如相变阈值的异质分布）如何调节多稳态系统的整体机械响应及其相变演化路径的分析见解。为此，每个双稳态元素的非单调力-位移关系被近似为简单但有效的三线性函数（Roller et al., 2024），这允许独立调整关键的相变阈值。在异质多稳态系统中重新定义了两个极限路径——最小能量路径和最大滞后路径。使用该模型，揭示了耦合相变的调控机制，这是一种独特的异质多稳态系统现象，其中一个元素的相变可以触发其他元素的相变。此外，还阐明了通过耦合相变调节相变路径的机制。这些见解为设计可调相变路径提供了明确的指导，将异质性从一个挑战转变为一个可编程特性。虽然当前的工作集中在准静态的一维情况下，但它为高效探索多稳态系统的复杂设计空间建立了一个强大的范式。

本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们为受力和位移控制加载下的异质双稳态链开发了一个半解析模型，并推导了其全局稳定性的标准。沿着两条不同的路径分析了相变序列的演化：最小能量路径和最大滞后路径。特别是对于最大滞后路径，我们解析地揭示了由异质性引起的耦合相变的机制。第3节展示了我们模型的数值结果，系统地研究了异质性景观对系统机械响应的影响。第4节通过成功将其应用于异质多稳态超材料的相变路径设计和蛋白质展开实验的解释，证明了该框架的广泛适用性。最后，第5节总结了我们的发现并总结了本文。

章节摘录

理论模型

考虑一个由N个不同双稳态元素串联组成的异质双稳态链的平衡状态，如图2（a）所示。对于第个个双稳态元素，其未变形长度和弹性伸长分别定义为a_i和Δu_i = u_i – u_{i– 1}。设u₀ = 0, u_N = Δ，链的总应变能为$W=\sum _{i=1}^N{a}_{i}w\left({\epsilon }_i\right),{\epsilon }_i=\frac{\Delta u_i}{a_i}$其中ε_i和w(ε_i)分别是第个双稳态元素的应变和应变能。链的总应变$\bar{\epsilon }$定义为

结果与讨论

在本节中，我们提出了几个定量结果。主要目的是研究不同双稳态元素、元素数量和假设的相变标准对异质双稳态系统的整体机械行为和相变序列的影响。这些结果也用于验证第2节讨论的正确性。子节3.1讨论了在位移控制条件下的异质双稳态链

应用

在本节中，我们展示了异质双稳态链模型的几个应用场景，证明了其实用性，并为未来的应用和分析提供了见解。子节4.1关注具有不同元素的多稳态超材料的理论建模、定量设计和相变行为调节，而子节4.2提供了关于蛋白质链展开的定性描述和讨论。

结论

在这项工作中，我们开发了一个异质双稳态链模型，以阐明具有不同双稳态元素的多稳态系统中离散相变的力学。通过将元素响应简化为三线性关系，我们的模型在保留多稳态核心物理特性的同时提供了分析见解。我们对异质多稳态系统的研究得出了三个基本见解：

1.

异质性作为决定性因素：特定的相变序列

CRediT作者贡献声明

P.Q. 李：写作——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，方法论，调查，形式分析，数据管理，概念化。K.F. 王：写作——审阅与编辑，撰写——初稿，监督，项目管理，资金获取，形式分析。B.L. 王：写作——审阅与编辑，监督，资金获取。