基于有限块法的功能梯度磁电热弹多物理系统静动态分析

《Composite Structures》：The static and dynamic analysis of the functionally graded magneto-electro-thermo-elastic multi-physical system based on the finite block method

本研究基于切比雪夫节点拉格朗日插值的有限块法（FBM），分析了功能梯度磁电热弹（FGMETE）智能材料在热环境下的静态与瞬态响应，为智能结构在热-力-电-磁多场耦合下的设计与安全评估提供了高精度、高效率的数值新方案。

　　

亮点

本研究首次将基于切比雪夫节点的拉格朗日插值有限块法（FBM）应用于热环境下磁电弹（MEE）智能结构的研究。分析了不同热场下的MEE板，以及智能结构在均匀温度变化和机械载荷下的静态和瞬态响应，研究对象包括一个带方孔的功能梯度板、一个功能梯度悬臂梁、一个多层能量收集器和一个智能传感结构。此外，还讨论了夹紧和自由边界条件对广义位移的影响，并对该智能结构在居里温度附近的瞬态行为进行了全面讨论。稳态和瞬态分析的结果均表明，FBM对于热环境下的功能梯度磁电弹（FGMEE）智能材料具有显著的适用性。该方法的显著优势在于处理连续变化的材料属性时表现出色，并且其高阶微分矩阵可以方便地从一阶微分矩阵直接构造，这极大地简化了高阶偏微分方程的离散化过程。切比雪夫节点的分布显著改善了FBM的收敛性，有效避免了由拉格朗日插值引起的“龙格现象”。

引言

复合材料生产和新兴技术的显著进步使得智能材料广泛应用于航空航天、土木工程和海洋工程等领域，补充甚至取代了传统材料。近年来，由压电和压磁相组成的一类独特智能材料因其巨大的潜力和引人入胜的特性，引起了相当多的关注。此类智能材料被广泛用于智能结构，包括飞机发动机、致动器、能量转换器和能量收集器。在实际应用中，这些结构常处于极端的外部条件下，并且对环境变化高度敏感。在这些因素中，温度条件是影响材料性能最重要的环境因素之一。温度变化可能导致智能结构失效或损坏。因此，在热环境中应用磁电弹（MEE）智能材料已引起研究人员的广泛关注。为了延长智能设备的整体寿命，采用准确有效的方法对热环境下的结构进行力学分析至关重要。

对于磁电热弹（METE）材料，研究人员已通过解析方法取得了显著成果。例如，Wang和Zhong推导了均匀温度条件下MEE复合材料圆柱壳的解析解。Chen等人获得了横观各向同性磁电热弹（METE）材料的三维通解，其中耦合场通过五个调和函数表达。Ootao和Tanigawa获得了多层复合材料条在瞬态非均匀和不稳定热载荷供应条件下的精确解。Xiong则通过五个新引入的调和函数，提出了半无限METE平面中点热源的二维格林函数。基于用调和函数表达的横观各向同性METE材料的紧凑通解，并采用试错法，Hou等人通过10个新引入的调和函数，提出了具有点热源的两相横观各向同性METE材料的三维格林函数。Ootao等人将研究扩展到多层METE空心球体，推导了球对称条件下瞬态热应力的精确解，以及在平面应变条件下空心圆柱体瞬态热应力问题的精确解。基于哈密顿原理，Bardi等人推导了多层METE矩形板的解析解。此外，Zhang和Li分析了FGMETE圆柱壳的屈曲和振动，推导了壳沿厚度方向运动的控制方程以及电势和磁势的分布。Akbarzadeh和Chen推导了解析解，并比较了功能梯度和均质METE空心圆柱的耦合响应。Saadatfar提出了一种分析方法来研究热环境中FGMEE旋转空心圆柱的蠕变响应，并进一步研究了影响蠕变行为的因素。在线性METE理论框架下，Chang等人分析了METE圆柱体中的热裂纹问题，得到了线性MEE理论下的解析解，并获得了弹性、电场和磁场强度因子的显式表达式，可应用于METE复合材料的设计与分析。

由于解析方法的局限性，数值计算方法被广泛用于分析METE结构。其中，有限元法（FEM）因其有效处理复杂边界的能力而被广泛使用。Sunar借助有限元公式推导了热压磁连续介质的本构关系。Kumaravel等人研究了在均匀和非均匀温度分布下多层MEE条的静态分析。此外，Kumaravel和Ganesan研究了在热条件下自由振动期间，温升对具有层状结构和变化体积分数的MEE梁的固有频率的影响。Chen等人分析了各向同性MEE板的自由振动，并建立了有限元法来求解横观各向同性MEE板在热-电-磁-机械耦合载荷下的弯曲问题。Abbas研究了理想条件下导电介质中热、磁、电和弹性场的瞬态响应，提出了一种改进的FEM来分析这些问题，并获得了位移、温度和径向应力的数值解。Kondaiah等人利用FEM，考虑了热电和热磁耦合效应，研究了MEE梁和板的静态行为。此外，Kondaiah和Shankar还使用半解析FEM，研究了在热效应下具有不同体积分数的多个MEE传感器的行为。Vinyas和Kattimani通过考虑热环境中MEE材料的本构关系，推导了相应的有限元公式，并利用有限元模型分析了MEE智能结构（板和梁）在不同热载荷和边界条件下的响应。此外，Vinyas和Kattimani还采用有限元框架研究了两种不同材料空间排列对METE板响应的影响。同时，基于一阶剪切变形理论（FSDT）、哈密顿原理和METE材料的耦合本构关系，Vinyas等人开发了一个有限元模型来研究热、弹性、磁场和电场之间的完全耦合对FGMETE板固有频率的影响。众所周知，标准FEM存在“过度僵硬”的缺点，无法提供足够可靠的解。Ren等人使用了基于节点的光滑径向点插值法（NS-RPIM）并引入了与场变量梯度方差相关的稳定项，构建了一个模型。他们用该方法研究了热环境中MEE材料的瞬态响应、机械和热载荷下FGMEE结构的自由振动，以及带孔的FGMEE结构的瞬态响应。此外，该方法还与渐近均匀化方法（AHM）结合，研究了热环境下MEE结构的静态和瞬态响应。基于单元的光滑有限元法（CS-FEM）比FEM更精确，且对网格扭曲不敏感。Zhou等人应用CS-FEM探索了MEE智能结构在居里温度附近热环境中的瞬态行为。此外，还分析了热环境下MEE和FGMEE智能结构中耦合多物理场的静态和瞬态响应。Zhou等人还提出了MEE耦合等几何分析方法，该方法利用非均匀有理B样条函数忽略了网格密度的影响，并应用于研究热和机械载荷下MEE材料的静态和瞬态响应。Phung-Van等人利用尺寸相关的非局部应变梯度等几何方法研究了拉胀蜂窝夹层纳米板的尺寸相关行为。他们还研究了功能梯度三周期极小曲面纳米板的非线性行为，并进一步分析了考虑尺寸效应的磁电弹纳米板的自由振动。

此外，学者们也采用了其他方法，如无网格方法来研究和分析METE问题。Aboudi通过均匀化细观力学方法提出了METE智能材料的有效模量。Chen等人推导了METE固体中动态断裂的能量释放率和路径无关积分，基于使用Stroh型形式主义的近裂尖端渐近场解确定了路径无关的动态轮廓积分。Sladek等人采用无网格局部彼得罗夫-加辽金法（MLPG）分析了热载荷下连续非均匀MEE材料中的断裂问题。学者开发了一个通用的渐近均匀化模型来确定复合材料的有效METE参数，并推导了纵向分层METE复合结构有效系数的闭式表达式。渐近均匀化方法也被用于研究周期性METE非均质介质和METE非均质结构的边值问题。Ebrahimi等人利用Navier型方法研究了在四种不同热载荷下非局部FGMEE梁的热屈曲。Karimi和Shahidi采用伽辽金方法对METE纳米板进行了屈曲分析。此外，Chen和Hsu采用无网格伽辽金方法解决了MEE材料在四种不同类型温度分布下的静态问题，取得了令人满意的结果。Zhou等人使用无单元伽辽金方法分析了非均匀METE材料的静态行为，其中位移、磁势和电势通过移动最小二乘（MLS）近似进行研究。

有限块法（FBM）是一种由Wen提出的高精度、高效率的无网格方法。该方法可以基于拉格朗日插值或切比雪夫插值生成一阶微分矩阵，而高阶微分矩阵可以直接从一阶微分矩阵推导出来。FBM将不规则的物理域划分为若干块，每个块被映射到一个规则域。在相邻块的界面处，必须满足连续性边界条件。与有限元法相比，FBM不需要划分网格。我们需要做的是指定节点数量、四条边上节点的分布方式以及边界条件。FBM没有自由参数，减少了自由参数确定和数值不稳定的难度。其次，FBM可以直接从一阶微分矩阵构造高阶微分矩阵，便于高阶偏微分方程的离散化。传统的无网格方法在处理强耦合边界时经常出现数值振荡。切比雪夫节点的分布改善了FBM的收敛性，有效避免了由拉格朗日插值引起的“龙格现象”。FBM在处理材料属性连续变化的问题方面表现出色。对于空间梯度变化的材料参数，无需修改其基本公式即可高效应用。FBM框架内微分矩阵的构造可以直接扩展到多物理场的控制方程，极大地促进了统一的求解流程。然而，对于极其不规则的计算域，需要考虑足够多的块，这会大大增加计算量。FBM已成功应用于求解热传导、弹性力学、断裂力学问题、非线性时间分数阶问题、压电多物理场耦合问题，以及结合自动微分技术的非线性问题。然而，对于热环境中的FGMEE问题，多物理场耦合机制的引入增加了额外的计算维度。多维交叉耦合效应变得更加复杂，显著增加了数值求解的难度。本文应用拉格朗日插值，通过FBM计算METE问题，并结合Houbolt差分法求解瞬态响应。本文是首次尝试将该求解方法应用于FGMETE问题，并取得了满意的结果。为热条件下磁电弹智能结构的设计和安全评估提供了新思路。

本文的组织结构如下：第2节介绍了METE材料的基本方程。第3节介绍了FBM的拉格朗日方案。第4节提供了几个数值算例，以验证FBM在求解FGMETE问题方面的准确性、有效性和鲁棒性。最后，第5节给出结论。

基本方程

热环境中MEE材料的相互作用关系如图1所示。基于热力学理论，热场下MEE结构的吉布斯能量函数G可表示为：

G = G(ε_ij, E_i, H_i, ΔT)，

其中ε_ij, E_i和 H_i分别是应变张量、电场矢量和磁场矢量。ΔT 是温度差。

吉布斯能量函数 G 的全微分形式为：

dG = (?G/?ε_ij)dε_ij+ (?G/?E_i)dE_i+ (?G/?H_i)dH_i+ (?G/?ΔT)dΔT

= σ_ijdε_ij- D_idE_i- B_idH_i- ηdΔT

二维问题中的块

在使用FBM进行数值计算的过程中，首先将物理域划分为若干块（通常倾向于使用较少的块）。对于二维问题，如图2(a)所示的一个块的区域通过以下映射函数映射到图2(b)中的一个正方形：

N_i= (1/4)(1+ξ_iξ)(1+η_iη)(ξ_iξ+η_iη-1)， (i=1,2,3,4)

N_i= (1/2)(1-ξ²)(1+η_iη)， (i=5,7)

N_i= (1/2)(1-η²)(1+ξ_iξ)， (i=6,8)

形状函数及其关于归一化坐标轴ξ, η的偏导数为：

?N_i/?ξ = (ξ_i/4)(1+η_iη)(2ξ_iξ+η_iη)， ?N_i/?η = (η_i/4)(1+ξ_iξ)(ξ_iξ+2η_iη)， (i=1,2,3,4)

?N_i/?ξ = -ξ(1+η_iη)， ?N_i/?η = ((η_i)/2)(1-ξ²)， (i=5,7)

?N_i/?ξ = ((ξ_i)/2)(1-η²)， ?N_i/?η = -η(1+ξ_iξ)， (i=6,8)

数值算例

在本节中，我们计算了几个数值模型，并将其稳态和瞬态响应与COMSOL有限元软件的结果进行比较，以验证FBM的准确性和有效性。由于COMSOL缺少内置的热环境磁电弹耦合模块，我们在数学模块中基于弱形式偏微分方程（PDEs）开发了自定义模块进行比较分析。数值算例中使用的材料参数如下所示。

结论

本研究首次应用基于切比雪夫节点拉格朗日插值的FBM来研究热场下的MEE智能结构。研究了不同热场下的MEE板，以及智能结构在均匀温度变化和机械载荷下的静态和瞬态响应，包括一个带方孔的功能梯度板、一个功能梯度悬臂梁、一个多层能量收集器和一个智能传感结构。此外，还讨论了夹紧和自由边界条件对广义位移的影响，并对该智能结构在居里温度附近的瞬态行为进行了全面讨论。稳态和瞬态分析的结果表明，FBM对于热环境下的功能梯度磁电弹（FGMEE）智能材料具有显著的适用性。