化学物质通过地质多孔介质的传输受多种因素影响，包括介质的结构和组成、流体速度以及所涉及化学物质的性质（无论是溶解态还是分散态，以及其反应能力、形成复合物的能力或吸附到介质上的能力）。对于高度均匀的介质，传输通常遵循费克定律，即可以通过平流-扩散方程（ADE）在足够大的空间和时间尺度上进行量化。对于更不均匀的系统，传输行为会偏离费克定律（Berkowitz等人，2006年），即使在非常轻微不均匀的情况下也能观察到这种效应（Zhang和Lv，2007年）。非费克定律传输通常表现为不对称的、长尾的化学羽流，而费克定律传输下的化学羽流通常是“更紧密”的，并以对称的高斯方式发展（即从初始注入点开始的浓度分布在任何测量轴上都是高斯的）。使用基于ADE的模型对不均匀系统进行建模需要对该系统进行映射，即为整个系统体积分配水力传导率值，然后明确求解速度场。然而，精确的几何结构通常是未知的且难以调查的，因此更倾向于使用能够产生不均匀性效应（例如长尾化学羽流）的模型，同时将整个域视为一个单一的有效连续体（Berkowitz等人，2006年；Naseri等人，2020年）。
在研究污染物通过地质多孔介质的传输时，一个重要的问题是污染物在一个地点（例如井、含水层区域）停留的时间长度，直到浓度降低到安全或可处理的水平（Dedewanou等人，2015年）。这个问题的答案在很大程度上取决于长尾污染物羽流的存在，尤其是对于像砷或重金属这样的有毒污染物，极低的浓度就足以使地下水变得不可饮用（Nouri等人，2008年；Podgorski和Berg，2020年）。因此，有必要开发并使用能够描述实际地质系统中可能出现的各种传输行为谱的模型。
在结构不均匀性的最大尺度相对于感兴趣的尺度足够小的情况下，最初的非费克定律传输可能在长时间和/或大距离下趋于费克定律行为（Dentz等人，2004年；Marseguerra和Zoia，2007年；Xiong等人，2006年）；这种行为在这里被称为渐近费克定律。直观上，可以想象观察一个不均匀域的子部分，并逐渐“放大”，使得各个结构元素看起来越来越小，直到整个域在宏观上变得均匀（图1）。化学羽流在这样的系统中迁移足够长的时间和/或距离后，会表现出越来越接近费克定律的传输行为，就像在均匀域中迁移一样。虽然这种效应在概念上很容易理解，并且可以在数值模拟中展示，但在实验中却很难观察到（Berkowitz等人，2000年；Cortis等人，2004年；Dentz等人，2004年）。这主要是因为展示传输趋于费克定律行为可能需要从注入点开始测量非常广泛的距离，而所有这些测量都在结构不均匀性有限的受控系统中进行。总体而言，关于渐近费克定律传输的发表文献较少（Dentz等人，2018年）。
在这项工作中，非费克定律和异常这两个术语可以互换使用，用来描述任何不能通过ADE很好地描述的溶质传输行为，包括在有限时间甚至“短”时间内的行为。异常传输程度这个术语用来描述传输行为与费克定律的差异程度。通常，系统越不均匀，异常传输的程度就越大。
尽管费克定律传输和异常传输之间的根本区别在于羽流形状的演变方式，但实际适用于现实世界系统的测量通常是获得系统内某一点（或几个点）的浓度-时间曲线（BTCs）。在一些实验工作中，已经报道了对化学羽流的直接成像（Marica等人，2011年；Trabucchi等人，2023年）。一般来说，BTCs反映了羽流形状，因此不对称的长尾羽流会产生不对称的重尾BTCs。然而，对于相对较低的佩克莱特数（Péclet number），羽流形状有足够的时间在穿过测量位置时演变，这种情况下完美的高斯羽流也可能产生不对称的BTCs（Ogata和Banks，1961年）。
如果系统本身随时间演变，通过系统的传输性质也会发生变化。例如，沉淀和溶解（P&D）反应可以影响多孔介质的结构，从而导致速度场的变化。Cohen等人（2025年）测量了在一个60厘米长的沙填充柱中石膏沉淀程度增加时惰性示踪剂的BTCs，发现系统内沉淀程度的增加导致了异常传输程度的增加，表现为越来越不对称的重尾BTCs。这些BTC行为的趋势在实验和模拟中都有观察到，无论是以溶解为主导的系统还是以侵蚀为主导的系统（Deng等人，2025年；Saeibehrouzi等人，2025年；Trabucchi等人，2023年）。
如图1所示，将传输行为从高度异常到费克定律的平滑过渡（即没有单一时刻出现突变）概念化意味着可以将可能的传输行为范围视为一个连续谱，而不是费克定律/异常的二分法。这种基于谱的方法不仅在考虑逐渐延长的时间或距离时有用，而且也适用于研究动态系统。特别是，如果系统的初始状态是高度均匀的（例如沙填充柱），并且它经历了逐渐的变化（例如由于沉淀），则可以想象通过该系统的传输会表现出类似于图1中“放大”效应的效果，但方向相反：传输最初可能接近费克定律，然后逐渐变得更为异常，最终不可避免地进入渐近费克定律范围。
那么就出现了如何适当地对这样的动态系统进行建模的问题，其中整体异常传输程度可能最初（或始终）相对较低，且传输预计（至少在系统的某些状态下）是渐近费克定律的。使用基于连续时间随机游走（CTRW）方法的模型可以实现对广泛传输行为的建模，同时将整个域视为一个单一的有效介质。这类模型在概念上不同于传统的随机游走模型：虽然这两种类型的模型都使用模拟粒子来表示溶解或分散的化学物质包，并根据运动方程在系统内移动（即进行步进），但CTRW模型中的运动方程不仅控制了粒子的位置移动，还控制了时间移动（Berkowitz等人，2006年；Bijeljic和Blunt，2006年；Rhodes等人，2008年）。某些CTRW模型公式能够描述渐近费克定律传输，如下所述。
在第2.1节中，简要介绍了CTRW模型，不仅描述了本工作中使用的模型，还介绍了其发展的原始模型和概念基础。这样做既是为了说明为什么某些模型中的CTRW幂律指数（在第2.1.1节中介绍）被限制在特定范围内，也是为对CTRW建模感兴趣的读者提供可能有用的通用信息。第3.1节进行了使用CTRW的传输模拟，并将其与基于ADE的费克定律传输进行了比较。研究了模型变量值的影响，并讨论了使用广泛参数范围对于幂律指数的有效性。然后，在第3.2节中，基于上述模拟的见解，对Cohen等人（2025年）的一些结果进行了CTRW-PT分析。最后，在第3.3节中，定义并回顾了基于BTCs的易于计算的传输参数，以确定动态系统中异常传输程度变化的有用指标。Cohen等人（2025年）表明，其中两个参数——洗脱时间窗口和最后一个峰的斜率——是有用的。
