在由正交各向异性条板加固的薄半无限弹性正交各向异性板中，产生的弯曲边缘波

《Mechanics Research Communications》：A flexural edge wave in a thin semi-infinite elastic orthotropic plate stiffened by an orthotropic strip plate

弯曲边波在正交各向异性薄板中的传播及局部化特性研究，通过渐近方法推导界面有效边界条件，分析正交各向异性条带板材料密度对波传播及局部化率的影响，并与精确解对比验证。

　　

艾哈迈德·S·M·阿尔扎伊迪（Ahmed S.M. Alzaidi）

沙特阿拉伯泰夫大学（Taif University）理学院数学与统计系，邮政信箱11099，泰夫21944

摘要

本文研究了由正交各向异性条板加固的薄半无限弹性正交各向异性板中的局部弯曲边缘波。文章的主要内容是通过对正交各向异性条板分别应用渐近方法，推导出界面处的有效边界条件。该方法基于使用扰动方法的渐近分析。本文的附加价值在于考虑了各向异性因素，尽管原始公式较为复杂，但通过改进的方法仍然可以处理。所提出的条件有助于获得相关的近似色散关系。接下来，为了验证所得结果的准确性，将原始问题的精确解与渐近色散关系进行了比较。最终，研究结果表明正交各向异性条板材料的密度会影响边缘波的传播及其局部化速率。

引言

半无限薄板中的弯曲边缘波有着悠久的研究历史，最早可追溯到第一篇重要论文[1]，此外还有早期关于静态框架下稳定性的初步分析[2]。更多细节请参考参考文献[3]和综述文章[4]。边缘波在工程结构中有多种应用，例如与无损检测相关的涡轮叶片等，详见[5]以及最近的贡献[6]、[7]及其中的参考文献。此外，边缘波在声学领域也有应用，参见[8]。鉴于这些重要应用，边缘波的存在和传播已在各种薄弹性板中得到了广泛而详细的研究。在这方面，已经在横向各向同性弹性板[9]、各向异性材料[10]、立方对称材料[11]、正交各向异性板[12]、[13]以及层压板[14]、[15]、[16]、[17]中证明了边缘波的存在。

涂层结构在现代工程中有着广泛的应用，例如[18]、[19]、[20]等。尽管在这一领域已有许多研究，但动态分析仍然具有重要意义，尤其是在涂层结构中。在解决这类问题的渐近方法方面，推导所谓的有效边界条件是最常见的方法之一，因为它们可以忽略涂层层的影响。请参考有影响力的参考文献[21]以及最近的出版物[22]、[23]、[24]、[25]及其中的参考文献。

加固板是许多工业应用中的重要组成部分，包括民用、航空航天和海军结构的制造[26]、[27]、[28]、[29]、[30]。绝大多数研究都分析了它们的动态行为，例如[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]。然而，只有少数论文研究了靠近加固板边缘的弯曲波的局部化现象。在这些研究中，我们提到了作者所知的最好的两篇论文[37]、[38]，它们研究了具有两个简支边缘的半无限条板。众所周知，边缘加固可以控制薄弹性板边缘附近弯曲边缘波的局部化，因为与经典的瑞利表面波不同，弯曲边缘波具有色散特性。这类加固通常通过沿边缘连接的梁或条板来模拟，分别用一维和二维方程进行表述。最近在该领域的重要贡献包括[39]，它研究了用条板加固的各向同性半无限板；还有[40]，研究了用梁加固的各向同性弹性半无限板附近局部化的弯曲波。

本文将[39]中的渐近方法扩展到用正交各向异性条板加固的弹性半无限正交各向异性板的情况。这种渐近方法得出了考虑正交各向异性条板对薄弹性正交各向异性板边缘影响的新有效边界条件。然后，利用这些有效边界条件得到了所需的边缘波的渐近色散关系。近似色散关系包含了一个明确的修正项，该修正项表达了加固材料密度对边缘波传播的影响。

本文的结构如下：第2节介绍了控制方程和边界条件以及一些重要的初步结果。第3节利用对正交各向异性条板的边界值问题的渐近处理方法推导出界面处的有效边界条件，假设典型波长远大于条板厚度。第4节使用有效边界条件得到了近似色散关系。最后，第5节总结了研究结果。

部分摘录

问题表述和初步结果

考虑了一个由正交各向异性条板加固的薄半无限正交各向异性弹性板。正交各向异性板和条板的厚度分别为$2h$，而正交各向异性条板的宽度为$\beta$。我们还假设正交各向异性条板的厚度远小于其宽度，即$h?\beta$。定义了一个笛卡尔坐标系，原点位于复合正交各向异性板的中间平面，其中$y$的方向为

有效边界条件的推导

下面将使用针对薄弹性结构的渐近方法（例如参考文献[22]、[39]、[42]及其引用文献）来模拟正交各向异性条板的影响，并推导出有效边界条件。为了得到提出的条件，首先需要表达界面处的修正剪力和弯矩，即在$y=<mi>\beta </mi>$处，根据规定的挠度和旋转角度进行表达。

让我们关注正交各向异性条板

近似色散关系

本节的目标是在区域$\beta ?y?\infty$内找到渐近色散关系。实际上，推导近似色散关系需要使用(1)中的控制方程和推导出的有效边界条件(21)。(1)的解通常由行波(7)给出。将(7)代入上述有效边界条件(21)，得到一组2 × 2的线性方程

结论

研究了由正交各向异性条板加固的薄半无限弹性正交各向异性板的边缘波问题。利用对正交各向异性条板的渐近方法分别推导出了考虑其影响的有效边界条件，并得出了相关的近似色散关系。此外，还证明了精确解与实验结果吻合良好

资助

本研究由沙特阿拉伯的泰夫大学（Taif University）资助，项目编号为（TU-DSPP-2024-257）。

利益冲突声明

作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：报告了与某方的关系；拥有待审批的专利。如果有其他作者，他们声明没有已知的可能影响本文工作的财务利益或个人关系。

致谢

作者感谢沙特阿拉伯的泰夫大学通过项目编号（TU-DSPP-2024-257）对本工作的支持。