将弹性环境因素整合到滚动轴承的多体仿真中

《Mechanism and Machine Theory》：Integrating the elastic surroundings into multibody simulation of rolling bearings

立方体可变形移动机构设计及运动学分析。本文提出一种由8个平台和12个URU链构成的立方体可变形移动机构，基于螺理论及齐次变换矩阵建立统一自由度分析与运动学建模方法，求解质心及各部件工作空间，设计出 tracked-rolling步态，并通过动态仿真和物理样机验证了机构的折叠、滚动、攀爬及垂直裂缝通过能力。

　　

赵子明|李叶卓|戴建松|吴建旭|姚彦安|金鹏|王子斌

北京交通大学机械电子与控制工程学院，北京，100044，中国

摘要

本文提出了一种新型的立方体可变形移动机构，该机构采用了URU链。这种外部呈立方体形状的新移动机构由八个平台和十二个URU链组成。本文提出了一种统一的分析方法，用于分析此类机构的自由度（DoFs）和运动学特性。自由度是基于螺旋理论获得的。点的坐标是通过齐次变换矩阵和闭环方程得到的。同时，利用每个链中的自由度分析结果来确定和验证约束方程的数量。此外，还求解了机构的质心（CM）、平台、链条和环的运动空间，这些结果用于设计一种跟踪滚动步态。进行了一系列动态仿真分析，以测试机构的性能，包括其折叠能力、跟踪滚动能力、球形滚动能力以及在垂直裂缝中的攀爬能力。制作了一个实验原型来验证其运动能力和跟踪滚动步态。

引言

完全封闭链可变形机构是一种具有封闭多边形或多面体形状的空间连杆机构。依靠几何形状进行机构设计和可重构变形[1]，它具有环闭合、整体变形和运动耦合等特点[[2]]、[3]]、[4]]。通过变形实现运动，该机构能够具备折叠[5,6]、移动[[7]]、[8]]、[9]]、操作[10,11]、改变移动性[12,13]、模型切换[14,15]、跨越障碍物[16,17]以及适应地形[[18]]、[19]]、[20]]等功能，这使得这类机构在驱动层面实现了机械智能[21,22]。

为了实现上述功能，需要分析机构的自由度。主要使用螺旋理论[[23]]、[24]]、[25]]和改良的Grübler-Kutzbach准则[[27]]、[28]]、[29]]来进行自由度分析，以研究运动的数量和配置。

完全封闭链可变形机构可以分为单环机构和多环机构[30]。基于平面机构，研究人员对单环机构进行了研究。Yu等人[31]找到了步态规划中的系统坐标数量和约束方程，并利用拉格朗日方程建立了机构的动力学模型，以分析其动态特性和运动方式。Wang等人[32]使用标准的Denavit-Hartenberg（D-H）约定获得了滚动机器人的运动学参数化，并确定了质心的运动空间。通过改变关节轴的角度，单环机构可以实现空间运动能力。Liu等人[33]利用闭环方程和螺旋理论方法对可重构单环机构进行了重构分析，然后利用机构对称性简化了运动学闭合方程，从而得到了运动模型分析。Zhang等人[34]使用改进的D-H参数方法推导出了7R单环变形机构的闭环方程。

由于完全封闭链可变形机构的运动学输入主要是每个关节的角度值，输入量的增加可能会导致控制难度增加。因此，研究人员通过添加额外的连杆机构，将具有多个运动自由度的环驱动转换为具有较少运动自由度的中心驱动，实际上是通过增加约束方程来降低运动学模型的复杂性。Kislassi等人[35]提出了一种最小驱动的可重构连续轨道机器人。由于其特性，只需分析底部轨道连杆的运动学即可。Zhang等人[36,37]通过构建朝向机构几何中心的连杆机构，将关节角度转换为以中心为原点的坐标。然后可以利用质心作为起点，推导出参数与关节位置表达式之间的耦合关系。

除了整体用于运动外，完全封闭链可变形机构还可以作为主体与传统的移动机构（如轮子[38,39]和腿部[[40]]、[41]]、[42]]、[43]]、[44]]、[45]]机构）结合使用。作为串联机构，它们可以分别进行计算。与开放链变形主体机构相比，这种机构可以实现更高的运动精度和刚性。Lee等人[39]提出了一种带有可适应四臂机构的轮式机器人。其力的约束通过弹簧引入运动学模型中。Dai等人[[42]]、[43]]、[44]]、[45]]将变形机构作为四足机器人的主体，使用齐次变换矩阵计算每个点的坐标，并建立了一种统一的方法来确定主体和足点位置。

空间完全封闭链可变形机构可以看作是由多个平面机构组成的封闭组合。一些研究人员使用平行机构分析方法来求解运动学[46,47]。Wohlhart[48,49]提出了多空间机构的位姿分析方法。基于位置向量、旋转矩阵和四面体结构分析，NASA提出的TET-Walker的运动学得到了分析[50,51]。Yim等人[[52]]、[53]]、[54]]利用节点控制实现了变几何桁架的运动学求解。为了简化空间机构的分析，Tian和Li等人[55,56]提出了一种等效的平面机构分析方法，利用机构对称性分析了复杂的空间变形机构。在我们之前的研究中，这种方法用于四面体机构运动学的求解[57]。然而，在运动规划方面存在局限性，这限制了质心的运动范围。

本文基于我们之前对可变形四面体滚动机器人（DTRR）[57,58]的研究，提出了一种新型的立方体可变形移动机构，采用URU链。其优势包括：

(I)

立方体机构保留了DTRR的优点。例如，旋转执行器提供了有利的工作空间，中间排列R关节的链条更容易实现较大的缩放比例而无需多级扩展，基于旋转执行器的无冲击滚动也更容易实现等[57]

(II)

立方体机构可以在一次滚动运动中实现较小的滚动角度变化。

(III)

立方体机构可以用最少的执行器实现全方向滚动，并且可以实现线性滚动以提高效率。

(IV)

增加的自由度为运动提供了更多可能性。

为了分析这种复杂的空间封闭链机构，我们提出了一种基于解链和连链的分析方法。首先，根据多个平面机构的组合将机构解链为多个链条。然后根据上述链条分析自由度和运动学。这种方法为自由度和运动学建立了统一的分析方法，降低了分析难度，并为机构的形状变换、拓扑变换和模式切换能力奠定了基础。

本文的其余部分安排如下：第2节介绍了机构设计和解链及连链方法，并解释了使用该方法进行自由度分析的过程；第3节分析了机构的运动学；第4节分析和规划了运动模式，并基于此设计了跟踪滚动步态；第5节展示了仿真中的运动测试结果；第6节制作和构建了机构的实验原型以验证分析结果；第7节给出了本文的结论。

部分摘录

机构设计

立方体可变形移动机构如图1(a)所示。该机构由8个平台（A_i, B_i, C_i, D_i, E_i, F_i, G_i, H_i, i = 1 ～ 3，按顺时针方向命名）和12个URU链（A₁R_{4D2, D1R3C2, C1R2B2, B1R1A2, A3R5E3, B3R6F3, C3R7G3, D3R8H3, E1R9F2, F1R10G2, G1R11H2, HR12E2）组成，如图1(b)所示。每个链条有2个通过R关节Rk》连接的二元连杆，另一端与平台通过U关节连接。}

分析方法

基于第2.2节的方法，运动学分析也分为4个步骤：

步骤1：将链条Ⅰ定义为底部环，求解其单环运动学，并获得链条Ⅰ中每个点的运动学坐标。

步骤2：分别获得链条Ⅱ～Ⅳ中每个点的运动学坐标。

步骤3：从步骤1～2中封闭点的坐标获得闭环方程，然后将每个点的坐标统一到一个坐标系中。

步骤4：使用

运动模式

运动步态的构建基于机构的对称性，包括中心对称性和平面对称性。因此，分析可以针对由平台形成的顶点、由链条形成的边缘以及由环形成的平面来进行。由于第4节已经证明每个平台上的被动变量对平台运动的影响很小，因此可以将各部分的运动组合作为步态规划的标准。

仿真

为了验证理论分析和机构的性能特性，我们在Adams中构建了一个动态模型。机构的几何参数设置在表2中。仿真参数如下：重力系数（9.8 m/s²），材料（铝和钢，使得m₁、m₂和m_{3分别约为0.3 kg、0.3 kg和0.5 kg），运动学对的约束（旋转关节、固定关节和球形关节），以及运动}

实验

根据机械结构设计，制作了一个实验原型，如图30所示。该原型可以分为顶点平台和URU链条。顶点平台是一个边长和高度均为150 mm的立方体。它被一个直径为325 mm的球体切割，理论分析中的δ_a为90.37 mm。该原型采用PLA（聚乳酸）材料通过3D打印制成。URU链条由伺服电机（24 V，47.3

结论

本文提出了一种新型的立方体可变形移动机构，采用URU链。为了便于分析自由度和运动学，建立了一种统一的解链和连链方法。获得了每个链条和整个机构的自由度。使用齐次变换矩阵和闭环方程在统一坐标系中求解机构每个点的位置表达式。同时，自由度的分析结果

CRediT作者贡献声明

赵子明：撰写——原始草稿、方法论、形式分析、概念化。李叶卓：撰写——原始草稿、方法论、概念化。戴建松：撰写——审稿与编辑、资源准备、方法论。吴建旭：撰写——审稿与编辑、形式分析、概念化。姚彦安：撰写——审稿与编辑、概念化。金鹏：可视化、验证。王子斌：可视化、验证。