连续体机器人（CRs）由于其固有的柔顺性、安全性、轻量化和成本效益而受到了广泛关注，使其能够在医疗保健[1]、工业[2]和人机交互[3]等领域得到应用。其中，电缆驱动的连续体机器人（CDCRs）由于其简化的结构和驱动机制，特别适合与协作机器人[2,4]和小型空中平台[5],[6],[7]集成，从而扩展了机器人的应用潜力。然而，CRs的高维性和欠驱动特性导致其运动比传统刚性机器人更为复杂。在操作过程中，CRs在控制输入变化时会在静态平衡配置之间发生显著变化，并且在高度动态的情况下会出现振动。本文中，给定控制输入向量对应的静态平衡状态表示CR在控制输入不变时的静态状态，此时由惯性效应引起的所有振动都因阻尼而消失。假设这种平衡状态与加载过程无关，仅与控制输入相关。平衡配置以及自由端的相应平衡姿态需要尽可能满足特定操作的要求。然而，平衡配置周围的振动会影响CR的操作精度。因此，实现有效的闭环控制对于实际应用中的可靠性能至关重要[8]。
对CRs的精确控制需要基于运动学和物理假设的简化计算模型。广泛采用的恒曲率（CC）或分段恒曲率（PCC）模型[9]将每个驱动段近似为圆弧，虽然提高了计算效率，但在较大负载或动态条件下无法准确捕捉实际变形。先进的变曲率方法，如欧拉曲线[10]、Cosserat杆[11,12]和有限元方法（FEMs）[13],[14],[15]，可以考虑这些效应以及不同的驱动机制。然而，这些方法产生的高度非线性运动方程降低了计算效率并增加了控制器开发的复杂性。对于CDCRs来说，这种挑战尤为突出，因为位移控制的驱动会产生非线性微分-代数方程（DAEs）[16,17]，进一步增加了系统复杂性。另一种基于运动学的方法，如基于几何的优化[18]，可以从部分观测到的姿态信息估计CR的整体配置并检测障碍物接触，而无需力传感器。然而，这些方法在动态任务中不考虑惯性效应，其计算效率可能不足以满足实时闭环控制的需求[19]。
数据驱动方法为开发高效的替代模型提供了有希望的途径。虽然实验数据可以直接用于模型训练，但计算模型的仿真数据具有独特优势，包括降低实验成本和能够模拟航空航天或深海等复杂环境。对于低速和低负载条件下的准静态操作，神经网络（NNs）[20,21]能够有效地建立静态模型。在具有显著惯性效应的动态情况下，深度神经网络和循环神经网络[22,23]可以捕捉系统动力学。与隐式数值模型相比，这些高效的数据驱动模型便于直接应用模型预测控制（MPC）[24]。通过逐步优化控制输入，MPC提高了轨迹平滑度和系统鲁棒性，同时减少了建模偏差的影响[25,26]。然而，复杂的神经网络需要大量的训练数据集和高计算成本[27]，并且其固有的高非线性使得MPC优化变得复杂。最近的数据驱动建模发展，包括Koopman算子（KO）[28,29]、稀疏非线性动力学识别（SINDy）[30]和谱子流形降维（SSMR）[31,32]，通过更简单的模型结构克服了这些限制。尽管这些方法减少了参数数量并防止了过拟合，但它们的简化公式可能会影响预测精度，通常需要增加模型维度或集成混合神经网络[33,34]。
浮动参考框架（FFR）方法最初是为建模柔性机构而开发的，为CRs的动态建模提供了一种新方法。FFR方法将柔性体的运动分解为两个部分：（1）由附着在物体上的参考框架描述的大范围整体刚体运动；（2）使用假设模态方法[35,36]表征的小范围局部振动。这种动态建模方法独特地结合了捕捉大范围全局运动和所有动态运动消失后由不同控制输入决定的平衡配置周围的小范围相对振动的能力。因此，FFR已广泛应用于柔性连杆机器人系统的动态分析和控制[37,38]。对于CRs来说，全局整体运动主要由大的准静态变形主导。尽管变曲率运动学没有显式的解析解，但数据驱动方法能够在FFR框架内构建功能等效的替代模型。概念上，FFR采用了一个额外的动态模型来补偿基础模型与实际系统动力学之间的偏差。这种模型校正策略已成功应用于基于方程和数据驱动的模型，显著减少了数据需求并提高了建模效率[39],[40],[41]。值得注意的是，FFR框架在基础模型的参考框架内描述相对运动，从而在基础模型和校正模型之间创建了非线性耦合，进一步降低了模型复杂性。
本文旨在为CRs开发一种新的数据驱动的混合动力学（HD）框架。受FFR方法的启发，我们提出了：（1）用于系统建模的全局变形静态模型（GDS）和相对运动动力学模型（RMD）的数据驱动HD框架；（2）相应的混合动力学控制器（HDc）架构。该框架实现了高效的动态建模和控制，并具有高计算效率。以多段CDCR为例，我们首先使用离散弹性杆（DER）方法[42],[44],[46]开发了基于方程的计算模型。这些计算模型包括静态模型和动态模型，能够为给定的电缆长度控制输入生成静态和动态仿真数据。然后，通过仿真数据开发上述混合动力学的数据驱动模型，实现了基于方程的计算模型的显式重构。它包括两个主要组成部分：首先，静态子模型使用前馈神经网络（FNN）表示CDCR的非线性平衡方程组；其次，动态子模型使用动态模态分解（DMD）通过时延嵌入和奇异值分解（SVD）[32,43]表示相对振动的线性动力学。之后，提出了两种动态控制器。基于显式静态模型的准静态控制器（QSc）在高度动态条件下无法实现完全控制，但它生成了所需控制信号的主要成分[29]，显著减轻了后续动态补偿的计算负担。此外，QSc为MPC中的优化问题提供了初始猜测，从而降低了收敛到错误局部最小值的风险。因此，动态控制器建立在QSc的基础上，但扩展了其功能。一方面，提出的HD框架被嵌入到传统的MPC中，形成基于全局位置误差的目标函数的控制器HDc-g。除了提高建模精度外，HD框架还提供了相对于单独使用QSc的独特优势。另一方面，还在MPC内构建了一个增强的动态控制器HDc-r，它使用相对振动的目标函数和线性化的RMD模型。该控制器动态调整QS输出以减轻潜在振动。它只需要解决一个线性约束的优化问题，大大提高了计算效率和系统稳定性。HDc-g和HDc-r在高度动态条件下都能为CDCRs实现更好的预测精度和闭环控制性能，其中HDc-r在快速移动后对CDCRs的振动抑制效果更好。本文提出的新模型和控制器如下。
(1) 带互补约束的DER建模：一种计算效率高的动态模型，适用于电缆驱动的连续体机器人（CDCRs），完全兼容基于位移的驱动器输入。
(2) 数据驱动的HD替代模型：一种新的降阶HD框架，包含GDS和RMD的替代子模型，将静态平衡解与线性化的相对动力学相结合。
(3) 基于HDc的闭环动态控制：一种分层控制策略，结合了准静态初始化进行粗略跟踪和基于模型的动态补偿以抑制振动。
本文的其余部分组织如下：第二节介绍基于DER的静态和动态模型。第三节提出数据驱动的HD建模框架。第四节介绍HDc的控制设计。第五节通过仿真和实验验证所提出的模型和控制器。最后，第六节给出结论性意见。
