量子信息与位置依赖质量半导体异质结构中的热力学特性

《Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures》：Quantum information and thermodynamic features in position-dependent mass semiconductor heterostructures

量子粒子在位置相关质量约束下的光谱、信息论与热力学性质研究。通过引入位移参数调控有效质量分布，导出自由与受限系统的精确解析解，揭示波函数对数依赖特性及能谱色散关系。分析Shannon熵与Fisher信息发现，位移参数显著影响位置动量概率分布及信息流。热力学计算表明，配分函数及熵等热力学量存在位移参数相关特征，为应变晶体等体系提供理论框架。

　　

作者：Quezia R.D.S. Moreira、Lucas F. Ximenes、Allan R.P. Moreira、Jo?o B.R. Silva 所属机构：巴西塞阿拉联邦大学（UFC）电信信息工程系，福塔莱萨，CE 60440-900

摘要

在这项研究中，我们探讨了在无限势阱中受限的具有位置依赖质量的量子粒子的光谱特性、信息论特性和热力学特性。通过引入一个位移参数来改变有效质量分布，我们推导出了自由状态和受限状态下的精确解析解。所得到的本征函数表现出对空间的对数依赖性，而量子化谱则保留了由位移强度控制的修正色散关系。我们进一步分析了量子信息量度，包括香农熵和费舍尔信息，揭示了质量位移如何影响系统中的空间定位和信息流动。从能量谱中得到的热力学量（如配分函数、自由能、熵和热容）显示出对位移参数的非平凡依赖性，表明位置依赖质量系统的热行为发生了显著变化。这些结果为应变晶体、梯度半导体和有效质量随空间变化的异质结构提供了一个相关的理论框架。

引言

引入非交换坐标作为规范场论的方法的思想可以追溯到海森堡的开创性研究[1]。这一观点最终促成了量子时空的提出[2]，在其中空间算符不再交换，从而在保持洛伦兹不变性的同时打破了平移对称性。因此，时空坐标在非常短的距离上获得了离散结构。这种基本长度的出现在现代物理的多个领域中都具有概念上的重要性，包括相对论[3]、弦理论[4]和量子引力[5]。在量子力学的范围内，最小可测量长度的存在改变了位置算符和动量算符之间的正则对易关系[6]、[7]、[8]、[9]，从而导致了所谓的广义不确定性原理。量子力学成为描述物质微观动力学及其内在波动行为的理论基础。其形式发展始于1926年薛定谔提出的波动方程[10]、[11]，随后是1927年海森堡的不确定性原理，该原理确立了物理可观测量的概率解释，并重塑了我们对量子尺度测量的理解[11]。

早期研究表明，修改正则对易关系或改变潜在的空间结构通常会导致一个薛定谔型方程，其中粒子的有效质量显式依赖于位置[12]、[13]、[14]、[15]。这一理论框架在描述半导体材料和量子点的电子行为方面被证明非常有效。在这些系统中，质量作为一个算符，与动量算符不对易，导致动能项中出现了众所周知的排序模糊性。多年来，由于位置依赖质量（PDM）动力学能够模拟各种物理情况，人们对这类系统的关注日益增加。PDM形式主义为研究晶体介质中的杂质态[16]、[17]、半导体异质结构的电子性质[14]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]以及哈密顿算符的厄米性相关问题[24]提供了强大的方法。此外，它的应用还扩展到原子和分子物理学[25]、超对称量子力学[26]、相对论性[27]、[28]、[29]和非相对论性[30]、[31]、[32]框架，以及基于费舍尔信息[33]、[34]、[35]和香农熵[35]、[36]、[37]、[38]的信息论分析。

与量子理论及其在具有位置依赖质量系统中的应用并行发展的是信息论，它作为一种新的概念框架，用于理解信息的传输和量化。这一领域起源于1948年，当时数学家和工程师克劳德·香农引入了熵的概念[39]，即信息从源传输到接收者的效率的度量。本质上，香农熵量化了在通信过程中最小噪声或不确定性下获得的信息量[40]、[41]、[42]、[43]。由于这一概念与概率密度密切相关，它自然地扩展到了量子系统，其中$S_x$和$S_p$分别描述了粒子位置和动量表示的不确定性[44]、[45]。早在香农提出这一概念之前，R. A. Fisher就已经引入了信息论中的另一个关键概念[46]。与香农熵类似，费舍尔信息也是根据概率分布定义的，因此可以在量子力学背景下应用[47]、[48]、[49]。从这个角度来看，费舍尔信息提供了一种补充的不确定性量化方法，因为它衡量了可观测变量包含的关于潜在参数的信息量。在量子力学中，它因此成为描述参数估计精度和概率测量过程所施加的内在限制的基本工具[47]、[48]、[49]。

近年来，对量子系统热力学方面的研究变得越来越重要，特别是在量子信息处理和计算进展方面[50]、[51]、[52]、[53]、[54]。基本量如亥姆霍兹自由能、内能、熵和热容可以从基于系统能量谱的配分函数中推导出来。

在这种背景下，本工作的动机是需要开发一个一致的理论框架，能够描述空间位移或非加性在粒子动力学中起核心作用的情况。我们提出了一个通过$q$指数函数定义的非加性平移算符[55]，由此自然产生了一个修正的动量算符，从而得到一个类似于控制具有位置依赖质量的粒子的薛定谔型方程。这种情景可以解释为梯度晶体介质，其中局部结构变化决定了受限粒子的有效质量，为分析半导体异质结构中的量子传输和定位效应提供了一个稳健的模型。

本文的结构如下：第2节中，我们从变形平移算符${\stackrel{?}{T}}_{\kappa }\left(a\right)$的定义及其性质开始，这些性质自然导致正则对易关系的修改和广义动量算符的获得。基于这一构建，我们推导出了质量随空间变化的粒子的有效薛定谔方程，并确定了位置依赖的质量分布。同样在这一节中，我们分析了受限粒子的精确解，强调了能级的量子化和波函数作为位移参数$\kappa$函数的行为。第3节中，我们介绍了量子信息量度，首先介绍了香农熵，它量化了与位置和动量表示的概率分布相关的不确定性程度，接着是费舍尔信息，它提供了量子参数估计精度的局部度量。第4节我们研究了热力学性质。最后，在第5节中，我们进行了最后的评论并讨论了我们的结果。

部分摘录

位置依赖质量问题

为了构建这个问题，让我们考虑一个最初围绕位置$x$良好定位的量子态，它可以转换为另一个以$x+a+\kappa x$为中心的态，同时保持所有其他物理性质不变。参数$\kappa$与一个特征长度的倒数相关，该特征长度量化了施加的位移与系统原始位置之间的耦合程度[56]。这种变换可以用一种紧凑的方式表示

量子信息量度

现代通信技术的迅速发展激发了对描述信息传输过程的理论框架的兴趣[67]、[68]、[69]、[70]、[71]。这些框架在量子领域[72]、[73]中找到了显著的应用，特别是在量子通信[33]、量子计算和密度泛函理论（DFT）[75]的形式主义方面。

热力学性质

对量子系统热力学方面的研究最近引起了相当大的兴趣[44]、[45]、[52]、[53]、[54]。这种日益增长的关注源于人们认识到理解费米子系统的热行为可以提供对其在量子信息和计算框架中作用的更深入的见解。在这样的背景下，量子相干性和记忆可能源于相关或配对的粒子状态，其动力学可以有效地被描述

结论

在这项工作中，我们研究了位置依赖质量背景和位移参数$\kappa$对所考虑系统的量子、信息和热力学性质的影响。我们的分析表明，在重塑空间和动量概率分布、改变定位特征以及修改波函数的对偶结构方面起着核心作用。费舍尔信息和香农熵显示出对

CRediT作者贡献声明

Quezia R.D.S. Moreira：撰写——原始草稿、方法论、形式分析、概念化。Lucas F. Ximenes：撰写——原始草稿、方法论、形式分析、概念化。Allan R.P. Moreira：撰写——审阅与编辑、验证、研究。Jo?o B.R. Silva：撰写——审阅与编辑、验证、研究。

资助声明

本研究未收到任何资助。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

作者感谢匿名审稿人的宝贵评论和建设性建议，这些评论和建议极大地提高了本文的质量。Q.R.D.S. Moreira还感谢塞阿拉州科学技术发展基金会（FUNCAP）的支持。