来自膨胀扰动压缩相干态的贝尔不等式违反现象

《Physics of the Dark Universe》：Violation of Bell inequality from a squeezed coherent state of inflationary perturbations

研究相干态作为宇宙学量子涨落的初始条件，探讨其时间演化对贝尔不等式违反的影响。发现虽然初始相干态导致贝尔算符期望值偏离真空情况，但随着膨胀发展逐渐趋近于真空值，且非零相干态参数加速这一收敛过程。通过 squeezed coherent state 的量子关联分析，验证了量子起源对贝尔不等式违反的动态影响。

　　

Aurindam Mondal | Rathul Nath Raveendran

印度统计研究所，加尔各答，700108，印度

摘要

我们通过研究初始状态为相干态而非通常的Bunch-Davies真空时贝尔不等式的违反情况，来探讨原初扰动的量子本质。随着膨胀的进行，相干态会演变成压缩相干态，我们推导出了由伪自旋算符构成的贝尔算符的期望值的解析表达式。我们的分析表明，尽管贝尔算符的期望值最初会偏离真空情况，但最终会饱和到相同的值。值得注意的是，对于非零的相干态参数，这种饱和发生得更快，这表明较大的单点相关函数会加速贝尔不等式违反的过程。

引言

研究早期宇宙最引人入胜和最具挑战性的方面之一在于引力与量子力学的交汇处——这两个物理学的基石至今仍难以调和。早期宇宙的极端条件为测试和潜在统一这些理论提供了独特的机会。在这个背景下，核心问题包括理解宇宙的起源以及解释大尺度宇宙结构的出现。

根据膨胀模型，我们今天看到的大尺度结构的种子起源于早期宇宙中一段快速膨胀时期的量子真空波动。这种膨胀将这些波动拉伸到了哈勃视界之外，有效地将它们冻结成了经典密度扰动。随着宇宙的继续演化，这些模式重新进入视界，成为过密区域的引力坍缩的初始条件——最终形成了我们今天观测到的星系、星团以及广阔的宇宙网[1]、[2]、[3]、[4]。

尽管这一机制成功解释了关键的宇宙学观测结果（如宇宙微波背景（CMB）的温度和极化各向异性），但其概念基础仍然尚未完全确立。特别是，原初扰动的量子起源尚未得到牢固的证明，因为这涉及到在没有完整的量子引力理论的情况下对度量和物质场波动进行量化。此外，更深入地理解和观测这些原初扰动的量子本质可能会为量子力学本身的基础提供宝贵的见解。因此，探究宇宙扰动的可能的量子起源仍然是一个重要且具有吸引力的研究方向[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]。

在膨胀宇宙学中，量子场波动被分解为动量模式，其动力学由时变模式函数控制。更准确地说，量子场可以表示为无限多个独立的双系统$\{k,?k\}，其中膨胀膨胀产生了具有相反动量的纠缠粒子对。提取膨胀的可观测预测的标准程序是在这些模式处于哈勃视界内部时施加适当的初始条件，然后将其向前演化，最后计算膨胀结束时的相关量子相关函数。这些相关函数在膨胀后时代会进一步演化，最终在宇宙学可观测量（如CMB各向异性和大尺度结构）上留下独特的印记。通过将这些理论预测与宇宙学探测的观测数据相比较，可以严格测试和限制不同的膨胀模型[14]、[15]、[16]、[17]。$

如前所述，当量子波动的相关长度尺度小于哈勃视界大小时，就为其施加初始条件。在这个阶段，背景空间几何在短距离内看起来是平坦的，量子波动预计会从最低能量状态开始。这促使人们选择Bunch-Davies真空作为原初量子波动的最简单和最符合物理现实的初始状态。随着膨胀的进行，这些模式离开哈勃视界，由于快速的宇宙膨胀，它们的量子状态动态演变为双模压缩态。这种压缩机制通过各种量子信息度量（包括贝尔不等式、纠缠熵、纠缠负性和量子不一致性）得到了广泛研究，这些研究都以Albrecht等人[6]、Martin和Vennin [8]、Kanno和Soda [11]、Brahma等人[18]、Boutivas等人[19]的研究为基础。

然而，Bunch-Davies真空并不是原初扰动的唯一初始状态选择。一些研究探讨了偏离Bunch-Davies真空的宇宙学后果（参见参考文献[20]、[21]、[22]）。在这些替代方案中，相干态作为初始状态特别值得关注。相干态扰动的一个定义特征是存在非零的单点相关函数[21]——这是真空态所不具备的属性。此外，非零的单点相关函数通常会导致原初扰动的统计均匀性和各向同性的破坏，从而产生可检验的宇宙学特征[21]、[23]、[24]、[25]。

基于这些考虑，在这项工作中，我们选择相干态作为膨胀扰动的初始状态，并研究在这种情况下的贝尔不等式违反情况。如上所述，当初始状态为Bunch-Davies真空时，之前已经研究过贝尔不等式的违反情况（参见参考文献[26]、[27]）。然而，当扰动从具有非零单点相关性的相干态开始时，贝尔不等式违反的可能性尚未被探索。在这项工作中，我们朝着这个方向迈出了一步。

本文的结构如下。第2节我们简要回顾了膨胀扰动理论。第3节我们对这些扰动进行了规范量化，并用压缩算符和旋转算符表示时间演化算符。然后，我们考虑相干态作为初始状态，而不是常用的Bunch-Davies真空，并研究时间演化算符对其的作用。随后，我们计算了与正交变量及其共轭动量相关的一点和两点相关函数。第4节我们简要介绍了贝尔不等式，并使用Gour–Khanna–Mann–Revzen（GKMR）伪自旋算符明确构造了贝尔算符。然后，我们分析了贝尔算符相对于压缩相干态的期望值。最后，我们专门讨论了de Sitter极限，并绘制了贝尔算符的期望值作为压缩参数的函数。我们的主要结论总结在第5节。

在本文中，我们使用以下度量符号：$(?,+,+)。对于背景宇宙学，我们使用空间平坦的Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker（FLRW）度量，其表达式为$$d{s}^2=a^2(?d{\eta }^2+{\delta }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j)$。在这里，上点表示对宇宙时间t的导数，上撇号表示对共形时间η的导数。此外，哈勃参数H定义为

节选

膨胀宇宙学扰动

膨胀扰动的演化可以使用线性宇宙学扰动理论来研究，其中标量、张量和矢量扰动独立演化。在这项工作中，我们特别关注标量扰动的演化并详细讨论了它们的动力学。

在膨胀时期，标量扰动通常用单个动力学自由度Mukhanov–Sasaki变量v(x, t)来描述。

扰动的量子化

到目前为止，我们讨论了宇宙学扰动的经典动力学。下一步是将这些扰动量子化，这涉及将经典Mukhanov–Sasaki变量v_k及其共轭动量p_k提升为量子算符${\hat{v}}_k$和${\hat{p}}_k$。然后，这些算符用产生和湮灭算符${\hat{a}}_k^{}$表示，从而满足规范对易关系[28]，