近年来，普通的回归模型仅能简单描述变量之间的回归关系，已不足以解决具有空间依赖性的回归问题。空间自回归模型（SAR）不仅描述了变量之间的回归关系，还考虑了数据之间的空间依赖性，因此被广泛应用于各个领域的实际问题中。该模型最初由Cliff和Ord（1970年）提出。然而，大多数关于空间模型的研究都是基于没有缺失数据的前提进行的，针对存在缺失数据情况的研究极为稀少。因此，我们专注于具有缺失数据的空间自回归模型的研究问题。
到目前为止，Horvitz和Thompson（1952年）提出了插补方法和逆概率加权方法来解决经典线性回归模型中的数据缺失问题。然而，对于包含空间滞后项的SAR模型，这两种方法可能导致参数估计不一致。为了解决空间效应带来的挑战，Wang和Lee（2013年）提出了三种在缺失数据情况下估计SAR模型的鲁棒方法，即广义矩方法（GMM）、非线性最小二乘法（NLS）和基于插补的两步最小二乘法（I2SLS）。Luo等人（2021年）在响应变量随机缺失的假设下，开发了一种结合I2SLS估计器和逆概率加权（IPW）方法的一致估计器。此外，LeSage和Pace（2004年）提出了一种最大似然方法，可以处理空间模型中的缺失响应，并可以使用期望最大化（EM）算法进行优化。Suesse和Zammit-Mangion（2017年）进一步发展了这种方法。
缺失数据的分析方法通常与缺失数据机制密切相关。Little和Rubin（1987年）将缺失数据机制分为三种类型：完全随机缺失（MCAR）、随机缺失（MAR）和非随机缺失（NMAR）。具体来说，MCAR表示数据由于随机因素而缺失，并且与任何变量无关；MAR表示数据仅依赖于可观测变量，与不可观测变量无关；NMAR表示缺失数据受到可观测变量和不可观测变量的共同影响。鉴于MAR机制在实际应用中的普遍性和易处理性，本文重点讨论在MAR假设下的缺失数据分析。
迁移学习作为一种先进的机器学习方法，能够有效地在源领域和目标领域之间传递知识，从而显著提高目标任务的性能。其理论基础可以追溯到早期的机器学习研究。Pratt（1992年）的开创性工作首次引入了基于神经网络的迁移学习方法。该方法通过调整源任务网络的权重来加速目标问题的学习过程，建立了第一个系统化的跨任务知识传递框架，有效提高了学习效率。
最近的研究在高维统计建模方面取得了关键进展，提出了一系列先进的迁移学习方法。Li等人（2022年）创新性地提出了Trans-Lasso框架，用于线性回归，通过整合目标模型和相关辅助样本的数据。该框架首先仅使用源数据估计参数，然后进行目标数据驱动的偏差校正。值得注意的是，它包含了一种自动识别可迁移源数据集的机制。在此基础上，后续研究在扩展这种两步方法方面取得了实质性进展。Sun和Zhang（2023年）为广义线性模型开发了自适应方法，设计了针对已知源和需要源识别的情况的专用算法。随后，Tian和Feng（2023年）修改了核心架构，在初始参数估计阶段整合了源数据和目标数据。这些共同进展牢固地确立了迁移学习作为回归分析中的强大方法，两步框架成为推动当代研究的主要范式。
迁移学习和缺失数据插补研究都取得了显著进展，但将这两种方法结合起来的综合研究仍然很少。为了解决样本量有限时SAR模型参数估计性能差的问题，本研究提出了一种创新的迁移学习解决方案。该方法首先使用EM算法对缺失响应值进行插补，以构建完整的目标领域数据集。在此基础上，它通过迁移学习技术有效利用源领域信息，显著提高了目标领域的模型性能。
图1提供了本文提出的算法概念框架的总体概述。我们提出方法的创新点和优势体现在以下三个方面：
(1) 我们提出了一种专门为具有缺失响应的SAR模型设计的EM算法，通过迭代优化实现数据插补。
(2) 针对SAR模型中缺失数据和样本量小的双重挑战，我们开发了一种“插补-然后迁移”的算法。
(3) 为了解决未知可迁移源领域的实际问题，我们设计了一种源检测算法，以有效识别可迁移源并防止因负迁移导致的性能下降。
本文的结构如下。第2节提出了一种创新的混合建模框架，首先使用EM算法解决空间自回归模型中的缺失数据问题，然后结合迁移学习技术应对小样本挑战。特别是对于具有未知迁移源的复杂情况，我们开发了一种基于交叉验证的源领域检测算法。第3节进行了系统的蒙特卡洛模拟和实证研究，全面评估了所提方法与其他算法在不同维度参数空间下的性能差异。第4节总结了方法论贡献，并深入讨论了缺失数据背景下迁移学习理论的未来研究方向。
