微晶石灰岩在瞬态载荷作用下的时间依赖动态模式I断裂及裂纹扩展行为

《Theoretical and Applied Fracture Mechanics》：Time-dependent dynamic mode I fracture and crack opening behavior of microcrystalline limestone under transient loading

脆性岩石动态断裂机理及数值模拟研究。基于Griffith能量平衡原理和积分变换方法，建立了时变应力条件下微晶石灰岩Ⅰ型裂纹扩展速度（CPV）和开裂位移（COD）的理论模型，并通过有限差分时域（FDTD）方法验证。研究表明：COD和裂纹长度与应力幅值呈线性关系，而CPV和开裂速度与应力加载速率线性相关，揭示了瞬态应力历史对裂纹起裂与扩展的主导作用。该模型为地下工程动态稳定性评估提供了量化工具。

　　

马光瑞|罗宁|魏玉成|柴亚波|张虎|林晨

中国矿业大学深部地下工程智能建造与健康运维国家重点实验室，徐州221116，中国

摘要

瞬态载荷对地下工程中微晶石灰岩的变形和破坏有显著影响，但其对动态I型断裂的时变效应尚未得到充分量化。为了研究应力速率对微晶石灰岩中I型断裂起始和裂纹扩展行为的影响，建立了一个时变断裂模型。基于Griffith的能量平衡原理，推导出了时变断裂公式，得到了瞬态载荷下裂纹扩展速度（CPV）和裂纹开口位移（COD）的解析表达式。采用有限差分时域（FDTD）方法高时间分辨率计算了瞬态裂纹表面位移。理论分析和数值模拟均表明，裂纹开口位移（COD）和裂纹扩展长度与施加的时变应力大小呈近似线性关系，而裂纹开口速度（COV）和裂纹扩展速度（CPV）与应力施加的时间速率呈近似线性相关。结果表明，瞬态应力历史主导了I型裂纹的起始和后续扩展。裂纹开口和扩展响应的理论预测——包括其速率依赖性和不同载荷速率下的路径敏感性——与各种瞬态载荷路径下的数值模拟结果吻合良好，验证了所提出的时变断裂公式。这一经过验证的框架为表征瞬态载荷下微晶石灰岩的动态断裂提供了定量基础，并为石灰岩介质地下结构的稳定性评估和设计提供了技术支持。

引言

在微晶石灰岩等脆性地质材料中，瞬态载荷下的动态I型断裂是地下工程结构稳定性的关键控制因素，但其固有的时变裂纹起始和扩展仍难以定量预测。裂纹扩展引起的结构破坏是固体力学和材料工程中的关键挑战之一。此类破坏在航空航天[1]、机械[2]、土木工程[3]和能源系统[4]中常常导致灾难性后果。疲劳引起的裂纹扩展会大幅降低材料强度并影响结构可靠性[5]、[6]。在岩石和水泥基复合材料等准脆性材料中，动态载荷条件下的裂纹起始和扩展特别复杂，因此预测裂纹扩展速度（CPV）对于评估结构安全和耐久性至关重要[7]、[8]。

断裂力学的理论基础源于Griffith的能量平衡理论[9]，该理论将脆性材料的断裂描述为表面应变能和弹性应变能之间的竞争。这一理论解释了为什么脆性材料的实际断裂强度远低于理论预测，并为后续发展奠定了基础。G.R. Irwin[10]引入了应力强度因子K并定义了断裂韧性，使学科从能量平衡转向应力场视角。J.R. RICE[11]通过J积分将Griffith的概念扩展到弹塑性材料，而C.F.Shih[12]表明裂纹尖端附近的HRR（Hutchinson–Rice–Rosengren）奇异性程度取决于塑性和加工硬化。这为单参数断裂准则中的最小尺寸要求提供了基础。

随着计算力学的快速发展，断裂力学研究进入了一个以数值模拟和多尺度建模为特征的新阶段。T. Belytschko和T. Black[13]将Griffith的能量释放率纳入扩展有限元方法（XFEM），实现了与网格无关的动态裂纹扩展模拟。后续进展引入了相场和双K断裂方法，作为模拟脆性和准脆性材料断裂的有效工具。相场方法基于Griffith的能量原理，将离散裂纹表面重新表述为受能量最小化控制的连续损伤变量。P.K. Kristensen和E. Martinez-Paneda[14]通过引入相场变量和准牛顿全局求解策略提高了计算效率，而M.A. Msekh等人[15]证明界面厚度显著影响抗拉强度。A. Baktheer等人[16]进一步将经典相场模型与疲劳框架下的黏结区理论相结合，捕捉了准脆性材料中的疲劳裂纹扩展，包括SN曲线和Paris定律的演变。同样，P. Carrara等人[17]开发了一个变分相场模型，用于描述速率独立的脆性断裂，阐明了从完整状态到断裂状态的转变及疲劳退化机制。然而，相场模型通常忽略了裂纹扩展速度（CPV）的时变演化，限制了其预测动态断裂行为的能力。

为了解决经典断裂模型在捕捉非塑性裂纹尖端区域的局限性，双K断裂理论引入了起始和不稳定K值。Zhang等人[18]、[19]应用这一框架研究了碳纤维和聚乙烯纤维对水泥基复合材料断裂行为的影响。Tang等人[20]表明碳化再生纤维主要提高了初始断裂韧性，但可能削弱了砂浆基体，而Cao等人[21]提出了一种基于双K的纤维增强沥青混凝土测试方法。尽管有这些进展，双K断裂理论仍然主要是静态的，且尚未建立动态修正的起始K值。

准确模拟裂纹扩展速度（CPV）的两个关键挑战是缺乏全面的动态效应理论以及系统性的实验验证[22]、[23]、[24]、[25]、[26]。现有的高速断裂实验提供的见解有限且缺乏理论一致性[27]。为了解决上述研究挑战，本研究将Griffith的能量平衡理论与有限差分时域（FDTD）方法相结合，推导出了裂纹扩展速度（CPV）和裂纹开口位移（COD）的解析公式[28]、[29]。为了克服相场和双K断裂方法的主要局限性——它们主要是速率独立的，无法明确描述时间演化的裂纹运动学——本研究建立了COD和CPV的时域公式。该公式明确将瞬态应力历史和应力速率纳入断裂准则，从而能够直接预测非稳态载荷下的裂纹开口和扩展动态。

此外，还开发了一个带有贯穿裂纹的XFEM板模型来模拟岩石裂纹扩展行为。数值模拟结果与理论预测一致，为所提出的框架提供了强有力的验证。这一经过验证的框架为动态裂纹扩展提供了严谨和统一的描述，并为评估脆性材料中的高速度断裂行为提供了坚实的基础。

部分摘录

积分变换方法

基于之前介绍的理论公式，本节开发了一个计算模型来描述无限厚带贯穿裂纹板中的裂纹表面位移。采用积分变换方法推导出裂纹开口速度（COV）的解析表达式，为后续的时变数值模拟提供了必要的基础。为了更深入地研究裂纹开口速度（COV），积分

材料选择

本研究中的有限元模拟使用了致密微晶石灰岩作为代表性材料。模型的力学参数主要来源于最近对碳酸盐岩力学行为的研究[37]、[38]、[39]、[40]，并通过工程实践中常用的经验平均值进行了进一步细化。模拟中使用的主要材料常数总结在表1中。（见表2。）

从材料科学的角度来看，致密

结果与讨论

本节综合了所提出的解析-数值框架在不同载荷场景下的力学响应、断裂演化和理论-模拟一致性。第4.1节在线性应力作用下建立了基线准确性，显示理论预测与中心裂纹板中的数值位移场高度吻合。第4.2节推广到时间二次方载荷情况，理论和模拟均显示出二次方

结论

本研究开发了一个全面的解析框架，用于定量表征微晶石灰岩中的裂纹开口和扩展行为。通过整合Griffith的能量平衡原理和积分变换理论，并通过扩展有限元方法（XFEM）公式进行验证，这项工作弥合了经典断裂力学与动态、速率依赖性断裂现象之间的差距。一个严格推导的时变Griffith型断裂

CRediT作者贡献声明

马光瑞：撰写——原始草稿，研究。罗宁：撰写——审阅与编辑，监督，概念化。魏玉成：验证，研究，数据管理。柴亚波：验证，研究。张虎：撰写——审阅与编辑，研究。林晨：数据管理。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本研究得到了国家自然科学基金（编号12372373、12072363）和国家重点研发计划（编号2020YFA0711800）的支持。