通过量子纠错中的旋转逻辑状态实现广义代码距离

《Theoretical Computer Science》：Generalized code distance through rotated logical states in quantum error correction

量子纠错码通过旋转算子构造新逻辑态，扩展稳定器生成元并分析有效码距指数衰减特性。在标准极化噪声（SD）和超导启发式噪声（SI）模型下，旋转逻辑态的码距分别达到0.68d_R和0.81d_R，且小旋转角度时逻辑错误率衰减更显著。研究提出非交换代数结构稳定器，通过调整旋转角度优化噪声抑制性能，为量子计算提供新纠错框架。

　　

瓦伦丁·尼拉哈法希马纳（Valentine Nyirahafashimana）|努里西亚·莫赫德·沙阿（Nurisya Mohd Shah）|乌迈尔·阿卜杜勒·哈利姆（Umair Abdul Halim）|穆罕默德·奥斯曼（Mohamed Othman）

马来西亚博特拉大学数学研究所，43400 UPM Serdang，雪兰莪州（Selangor Darul Ehsan），马来西亚

摘要

我们通过将旋转算子应用于稳定器状态来构建旋转逻辑状态，从而扩展了逻辑基础并修改了稳定器生成器。这些旋转算子会影响有效码距 d_R，该码距会随着旋转角度（θ, ?）呈指数衰减，进而影响纠错性能。我们量化了在电路级噪声下逻辑错误率的缩放行为，比较了标准退极化（SD）和受超导启发的（SI）噪声模型在旋转角度较小时和较大时的情况。研究结果表明，对于SD，旋转码距的缩放比例为0.68d_R(0.65d_R)；对于SI，缩放比例为0.81d_R(0.77d_R)。较小的旋转角度会导致逻辑错误率更快的衰减。在物理错误率（p_phy）为 ${10}^{?4}的情况下，逻辑错误率会随着$d_R 呈指数衰减，尤其是在SI噪声下，这种抑制效果更为显著。旋转逻辑状态的阈值错误率与以往的结果进行了比较，显示出对噪声的更强抵抗力。通过扩展逻辑状态基础，基于旋转的编码比传统的稳定器编码更能增强错误抑制能力，为推进量子纠错技术提供了有前景的方法。

引言

量子纠错（QEC）和量子纠错码（QECCs）对于保护量子信息免受退相干和操作缺陷的影响至关重要，是量子计算、量子存储和量子通信系统的基础 [1], [2], [3], [4]。传统上，稳定器形式主义为QEC提供了主导的理论框架，其中量子码由作用在n个量子比特上的泡利群（Pauli group）的阿贝尔子群定义 [5]。这种形式主义为错误检测和纠正提供了一种数学上结构化且可扩展的方法，构成了许多容错架构的基础。

在这个框架内，已经在包括门错误、测量错误和状态准备错误在内的实际噪声模型下对容错QECCs进行了广泛研究 [6], [7]。根据特定的噪声特性调整码结构已被证明可以显著提高逻辑错误抑制率和阈值行为，特别是在存在结构化或偏置噪声的情况下 [8], [9]。这些结果激发了进一步研究超越均匀泡利错误假设的码结构的兴趣。

在稳定器码中，表面码（surface code）因其高错误阈值和稳定器测量的局部性而特别值得注意 [10]。诸如旋转表面码（rotated surface code）之类的变体在保持相同码距和容错特性的同时，减少了物理量子比特的开销 [11], [12]。最近的研究分析了在电路级噪声下旋转和未旋转表面码的逻辑错误率缩放情况，表明旋转几何结构可以用更少的物理量子比特实现等效的逻辑性能 [7], [13], [14]。作者进一步比较了每种码达到相同逻辑错误率所需的量子比特数量，发现旋转码大约需要非旋转码所需物理量子比特的74–75%，具体取决于噪声模型 [15], [16]。这些工作主要集中在传统稳定器框架内的几何优化和资源效率上。尽管取得了这些进展，传统的基于稳定器的QEC仍然使用由泡利算子定义的固定、离散的逻辑基础来编码逻辑信息，相应的错误综合征也仅限于泡利测量。虽然这种结构非常适合纠正泡利类型的错误，但在处理与离散稳定器对称性不自然的错误模型时灵活性有限。特别是，逻辑状态定义的刚性限制了在给定码内重新定向或调整逻辑信息的方式，而不需要引入额外的容错开销（如码切换）。

评估这些方法有效性的一个关键因素是纠错距离 d，它决定了对逻辑错误的保护水平 [15], [16]。这包括一个适用于具有相对于量子比特数量 N 次旋转对称性的码的距离公式 [17]。引入非交换泡利稳定器形式主义使得能够高效计算纠缠和局部可观测量，特别是在具有非阿贝尔任意子（non-Abelian anyons）的拓扑模型中，从而增强了量子系统的容错性 [18], [19]。扩展的克利福德群（extended Clifford group）通过将泡利群 P_n 泛化为更广泛的代数结构，进一步强化了这一框架，促进了高级量子门和纠错技术的发展 [19], [20], [21]。最近的理论发展探索了稳定器形式的扩展，包括非交换泡利代数、广义克利福德结构和XP稳定器码，为逻辑编码和错误检测引入了更丰富的代数框架 [18], [19], [22]。相关方法，如非线性QEC，进一步表明放宽严格的离散编码假设可以扩大可检测和可纠正错误的类别 [23]。这些发展激发了对超越固定泡利定义基础的逻辑状态构造的系统性研究，同时仍与基于稳定器的QEC兼容。

在这项工作中，我们引入了旋转逻辑状态，其中逻辑编码和生成器是使用旋转算子（如 R_x(θ) 和 R_z(?)）构建的。与传统逻辑状态不同，后者是离散的并且由稳定器特征值确定，旋转逻辑状态由旋转角度参数化，形成了连续的家族。这种额外的灵活性带来了几个优势：逻辑状态可以平滑地重新定向而无需码切换，错误综合征可以相对于可调的逻辑基础来定义，稳定器结构本身也可以系统地修改，以更好地适应那些不能仅用泡利描述捕获的错误模型。重要的是，这些旋转逻辑状态仍然与基于稳定器的错误检测和纠正兼容。

我们开发了一个理论框架，在该框架中，旋转生成的逻辑结构被嵌入到 U(2ⁿ) 中，作为泡利-克利福德形式主义（Pauli–Clifford formalism）的受控扩展，而不放弃稳定器范式。在这个框架内，我们分析了旋转算子对码距、逻辑错误率缩放和电路级噪声下阈值行为的影响。通过将旋转视为逻辑编码的结构元素而不仅仅是物理门操作，这项工作为QEC中的逻辑状态设计提供了另一种互补的视角。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了构建广义旋转逻辑状态和稳定器的理论框架和方法；第3节分析了旋转算子对码距和逻辑错误抑制的影响；第4节总结了结果及其含义。

部分摘录

理论与方法

本节探讨了旋转算子与泡利算子的非对易结构，并通过引入全局相位因子和非克利福德门（non-Clifford gate）将这些变换扩展到 U(2ⁿ)，从而为超出稳定器约束的更灵活编码引入了新的代数属性。稳定器状态被扩展为旋转逻辑状态，修改了生成器和码距参数。随着旋转角度的增加，有效码距会减小。

结果与讨论

本节分析了旋转算子如何影响码距，揭示了码距随旋转角度和 λ 增加而呈指数衰减。逻辑错误率 $p_{\text{log}}^R随着$p_{phy 的减小而更快地降低。在量子电路中，错误通道 $E_S(\theta ,\mathrm{?)}和$$E_S(\theta ,?定义了依赖于旋转的噪声缩放，直接影响$dR。一个缩放拟合函数比较了在SD和SI噪声模型下的逻辑错误率，显示出SI模型下的下降速度更快。这一分析捕捉到了}

结论

本研究将稳定器逻辑状态扩展到旋转逻辑状态。其旋转稳定器生成器不再是纯粹的泡利算子，而是多个泡利项的线性组合。对于大角度旋转的旋转逻辑状态，稳定器通过旋转算子显著混合进了非泡利项，利用非交换结构提供了巨大的潜力。我们的结果表明，有效码距 d_R

写作过程中生成式AI和AI辅助技术的声明

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CRediT作者贡献声明

瓦伦丁·尼拉哈法希马纳（Valentine Nyirahafashimana）：概念化、方法论、写作——初稿、形式分析。努里西亚·莫赫德·沙阿（Nurisya Mohd Shah）：写作——审阅与编辑、验证、监督、资金获取、项目管理。乌迈尔·阿卜杜勒·哈利姆（Umair Abdul Halim）：写作——审阅与编辑、可视化。穆罕默德·奥斯曼（Mohamed Othman）：写作——审阅与编辑、可视化。

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