《European Journal of Mechanics - A/Solids》：Novel force-based Peridynamic contact model for enhanced accuracy and non-physical penetration suppression
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提出了一种基于力的新型PD接触模型，通过分析连续与非连续SRF模型在不同维度和层面对接触力的影响，开发了两类接触函数算法，建立等效接触力解析模型，显著抑制穿透并提升精度，适用于多体动力学中的刚性-弹性体相互作用。
张彦婷|黄张聪|陈景凯|姜东|刘志成|杨宇|张申
中国石油大学机械与电子工程学院，青岛，266500，中国
摘要
本研究提出了一种基于力的周动理论（PD）接触模型，旨在提高计算精度并抑制多体动力学模拟中的非物理穿透现象。该方法解决了现有PD框架的局限性，确保了无摩擦、非粘性相互作用下的接触计算稳定可靠。通过对离散PD模型的几何分析以及接触力的解析-数值比较，我们研究了二维和三维域、单层和多层接触表面以及连续与离散公式下短程力（SRF）模型的变化规律。我们开发了一种基于力的边界接触算法，该算法结合了两种不同的接触函数公式，并使用PD接触力作为性能指标进行评估。同时，我们建立了一个等效接触模型，推导出了等效接触力和压力的解析表达式，从而实现了稳健的评估。数值实验表明，所提出的方法显著减少了非物理穿透现象，同时提高了SRF模型的准确性。这些发现证实了该方法的有效性，为基于PD的接触模拟提供了一种计算效率高的解决方案。所提出的基于力的方法和等效力模型在SRF框架内具有很好的扩展性，为将经典接触力学与周动理论相结合奠定了坚实基础。
引言
周动理论（PD）最初由Silling（Silling, 2000）提出，旨在解决经典连续介质力学在模拟裂纹等不连续现象时的局限性。受分子动力学和长程力相互作用的启发，PD为连续介质力学提供了一个非局部框架。自提出以来，PD方法经历了显著的发展，从最初的基于键合的公式演变为更先进的基于状态和非基于状态的模型，能够捕捉复杂的材料行为。这些进步得到了理论扩展和计算效率提升的支持（Silling等人，2007；Madenci和Oterkus，2014；Javili等人，2019）。PD的一个关键特点是它依赖于积分方程而非偏微分方程，这使得无需预先定义裂纹路径即可自然模拟裂纹的起始和扩展。这种方法还避免了裂纹尖端的奇异性，并支持无网格离散化（Bobaru等人，2016；Diehl等人，2019；Silling和Askari，2005a）。这些优势使PD成为多个学科中的有用工具。例如，PD已被应用于各向异性材料建模（Zhou和Wang，2021；Ghajari等人，2014）、复合材料建模（Oterkus和Madenci，2012；Shang等人，2019；Kilic和Madenci，2009）以及岩石力学（Hattori等人，2017；Nadimi等人，2016）。此外，PD还被用于开发弹塑性材料模型并模拟塑性断裂（Foster等人，2011；Madenci和Oterkus，2016），以及多晶材料和钢筋混凝土中的断裂过程（Shen等人，2013；Yaghoobi和Chorzepa，2017）。它还在模拟高速冲击事件方面表现出有效性（Isiet等人，2021；Panchadhara等人，2017）。除了这些传统应用外，PD还扩展到了新兴领域，如生物膜破裂（Taylor等人，2016）、路面材料退化（Sanfilippo等人，2023）、腐蚀引起的裂纹（Chen和Bobaru，2015）、动态载荷下的冰力学（Vazic等人，2017）以及与有限元方法的自适应耦合进行多尺度模拟（Liu和Hong，2012）。最近的发展进一步扩展了PD在裂纹固体中的热扩散（Giannakeas等人，2018）和金属材料中的疲劳裂纹扩展（Hu和Madenci，2017）中的应用。
接触力学在工程中至关重要，它控制着多体动力学、静力学和动力学中的相互作用（Johnson，1987；Laursen，2019；Wriggers，2012）。在多体动力学中，准确的接触模型能够为机器人操作器、车辆悬挂系统和颗粒流提供精确的力和运动预测（Tian等人，2018；Zhang等人，2020）。在静力学中，它们是稳定结构设计的基础，如基础和轴承（Yastrebov，2021）。在动力学中，它们对于分析冲击事件（如车辆碰撞或材料破碎）至关重要（Zukas，2020）。计算方法，包括带有惩罚项或拉格朗日乘子技术的有限元方法（FEM）（Zavarise和Wriggers，2011；Khoei，2010）、用于颗粒系统的离散元方法（DEM）（Zhu等人，2008；O’Sullivan，2011）、用于流体-结构相互作用的平滑粒子动力学（SPH）（Liu和Liu，2003）以及用于裂纹扩展的扩展有限元方法（XFEM）（Mo?s等人，1999），都结合了接触公式来解决各种问题。
在周动理论（PD）中，稳健的接触建模对于多体相互作用模拟至关重要。短程力（SRF）模型（Silling等人，2007；Madenci和Oterkus，2014；Diehl等人，2019；Silling和Askari，2005a）是一种早期但基础性的方法，它在进入接触范围时激活成对排斥，保持了PD的非局部特性，而无需定义表面。其简单性使其在高速陶瓷断裂（Isiet等人，2021）、复合材料分层（Shang等人，2019）、水力压裂（Nadimi等人，2016）以及极地导航中的冰-螺旋桨相互作用（C等人，2022；Zhang等人，2025；Xiong等人，2022；Kang等人，2023；Xiong等人，2020）等应用中得到广泛采用。迄今为止，SRF仍然是最常用的PD接触方法，其核心机制的理论改进有限。最近，PD接触建模已经超越了SRF。Macek和Silling（Macek和Silling，2007）引入了在PD-FEM耦合中使用基于惩罚的点对点接触方法，这提供了直接的实施方式，但依赖于经验参数，可能在动态场景中导致数值不稳定。点对表面方法也随之出现，Kamensky等人（2019）在流体-结构相互作用中采用了自适应网格细化来提高摩擦接触的准确性，尽管增加了计算需求；Lu等人（2020）在赫兹压痕断裂中应用了动态范围，增强了穿透控制，但受到材料均匀性假设的限制。更近期的点对体策略，如Zhang等人（2022）用于涉及断裂的接触问题，能够处理演变表面，但在多尺度设置中难以保持力的等效性；Guan等人（2023）用于自适应摩擦建模，提供了高保真度的耦合，但对范围大小的变化敏感。Zhang等人（2026）提出了一种改进的点对表面算法，使用惩罚方法来增强表面检测并减少复杂几何形状中的穿透，提高了稳定性，但没有严格的力与经典力学的解析映射。这些进步通过自适应缩放、力阈值和能量正则化（Kamensky等人，2019；Lu等人，2020；Zhang等人，2022；Guan等人，2023）减轻了非物理穿透现象，但通常依赖于启发式调整，缺乏统一的物理一致性。尽管有这些发展，但在零分离附近仍存在非单调的力变化，导致残余穿透、应力不均匀性和高速度冲击或精细离散化下的能量不平衡（Bobaru等人，2016；Giannakeas等人，2018）。当前的自适应算法（Zhou和Wang，2021；Kamensky等人，2019；Zhang等人，2026）提高了稳定性，但缺乏与接触力学的物理一致性。
基于我们之前的探索性研究（Huang Chen等人，2025），该研究仅限于二维配置，并且对范围大小和离散化对短程力（SRF）行为的影响提供了有限的见解，本研究直接解决了这些不足。我们开发了一种基于力的PD接触方法，该方法基于基于键合的周动理论，可以无缝扩展到二维和三维无摩擦、非粘性相互作用，适用于刚体和弹性体之间。通过对连续SRF模型的分析及其离散对应物的详细几何/数值审查，我们揭示了不同配置下接触力非单调性的起源。这一基础使我们能够制定出一种改进的基于力的PD接触模型，该模型具有两种类型的接触函数。为了便于直接、直观的基准测试，我们推导出了有量纲的等效接触力和压力表达式。在刚体-刚体和刚体-弹性体冲击场景中的广泛模拟证实，该方法消除了非物理穿透现象，保持了计算效率，并在准确性和稳定性方面优于标准SRF。该方法易于实现，并且可以轻松适应任何与SRF兼容的接触框架。
第2节介绍了基于键合的周动理论、短程力接触模型以及防止非物理穿透的策略。第3节分析了连续和离散模型中短程接触力的变化特性，进行了单独的分析和比较，并确定了根本原因。第4节提出了一种基于力的接触方法，构建并验证了两种类型的接触函数，并推导出了等效接触力公式。第5节通过两组四个模拟模型评估了该方法的有效性和准确性。第6节总结了该方法的特点、应用和未来研究方向。
基于键合的周动理论中的基本公式
在周动理论（PD）中，材料被建模为离散点或节点的集合。每个节点与位于指定空间域内的其他节点相互作用，该空间域称为“范围”。在PD框架中，范围通常在模型初始设置时通过固定半径定义，如图1所示。
节点之间的相互作用通过长程力介导，这些力不要求节点必须是直接邻居。
短程接触力
短程力（SRF）模型已在周动理论（PD）模拟中得到广泛应用，用于处理多物体接触和体内的内部接触。然而，标准的SRF和改进的SRF方法都表现出特定的特性，包括PD接触力的非单调变化，这需要在考虑改进策略之前进行全面的分析。
为了便于这项研究，我们建立了一个简单的数值SRF模型。
基于力的短程力接触模型
考虑到离散刚体接触模型的接触力特性，本文提出了一种基于PD的接触方法，该方法使用非线性接触刚度作为力边界，基于Silling（Silling和Askari，2005b）提出的标准短程力。
模拟
如前所述，有效的接触模型必须优先防止非物理穿透，同时努力实现接触计算的最佳准确性。为了严格评估这两个目标，我们使用了两组四个不同的数值模型来分析各种接触函数。
第一组示例旨在验证接触模型对穿透的鲁棒性。通过对二维和三维冲击的独立分析
结论
本研究提出了一种基于力的周动理论（PD）接触方法，用于刚体和弹性体之间的无摩擦、非粘性相互作用，该方法建立在短程力（SRF）模型的基础上。通过对连续模型的解析求解和对离散模型的几何/数值分析，系统地描述了二维和三维配置、单层和多层接触表面以及连续与离散公式下的接触力特性。
CRediT作者贡献声明
张彦婷：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资源管理、项目实施、研究调查、资金获取、正式分析。黄张聪：撰写——审阅与编辑、初稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法论、正式分析、数据管理、概念化。陈景凯：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资源管理、项目实施、研究调查、资金获取。姜东：撰写——审阅与
资助
本研究得到了国家科学技术重大项目（2025ZD1404603）、国家自然科学基金（51804333）和山东省自然科学基金（ZR2023ME022）的支持。此外，还得到了山东省高校青年创新团队人才引进与培养项目（2024KJH075）的支持。非常感谢匿名审稿人的建设性意见。
利益冲突声明
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致谢
作者确认在本研究中不存在利益冲突。本文的代码使用Matlab编写，可根据合理请求提供。本文未使用任何与AI相关的技术或方法。
