微米和纳米级结构已成为一类具有变革性的材料，在生物学（Zhang等人，2025年；Singh和Rai，2025年）、电子学（Pundir等人，2024年；Sivasubramani，2025年）、能源（Deng等人，2025年；Sonawane等人，2025年）、光子学（Dwivedi，2025年）、机器人技术（Sabry，2025年；Cheang和Kim，2015年）以及航空航天（Srinivasan等人，2021年；Iqbal等人，2021年；Karthikeyan和Naveen，2025年；Gadtya等人，2024年）等多个领域展现了无与伦比的潜力。这些材料独特的微观特性为微机电系统（MEMS）和纳米机电系统（NEMS）带来了新的功能，促进了极其小型化和先进设备的发展。
在这些尺度上研究分子间相互作用和材料行为具有挑战性，因为这些现象难以直接观测。为克服这一难题，研究人员通常依赖于已建立的原子尺度理论（Kushch，2023年；Zhang和Glukhova，2020年）。这些理论虽然精度较高，但计算成本高且模拟耗时较长。因此，研究者们开始超越传统的连续介质力学（Reddy，2009年；Reddy，2013年），采用能够更准确捕捉纳米尺度尺寸效应的非局部理论。Eringen首次提出的积分定律（Eringen，1983年）后来被扩展用于研究各种纳米结构中的尺寸效应（Barretta等人，2014年；Barretta等人，2016年）。非局部理论包括但不限于：应变梯度模型（Altan和Aifantis，1992年；Qaderi等人，2023年；Akg?z和Civalek，2015年）、应力驱动模型（Romano等人，2018年；Shariati等人，2021年）、改进的偶应力模型（Park和Gao，2006年；Tsiatas，2009年；Kong，2022年）以及微极连续介质理论（Nowacki，1970年；Dyszlewicz，2004年）。
非局部弹性理论在文献中被广泛用于研究纳米结构的力学行为，包括杆、梁、板和壳等。这些研究探讨了非局部连续介质模型的静态、动态和稳定性响应。以下简要概述了相关关键工作。
Yayli（2020年）利用Eringen的非局部弹性理论研究了具有轴向约束的Rayleigh纳米棒的轴向振动；Kong等人（2009年）基于应变梯度弹性理论对欧拉-伯努利梁进行了静态和动态分析；Apuzzo等人（2018年）研究了采用改进应变梯度的欧拉-伯努利弹性梁的振动行为；Akg?z和Civalek（2012年）在改进的应变梯度弹性理论和改进的偶应力理论框架下分析了微尺度梁的弯曲行为；Yayli（2019年）研究了具有旋转约束端的功能梯度纳米梁的自由横向振动行为；Ansari等人（2011年）基于应变梯度Timoshenko梁理论分析了微梁的振动行为。随后，Ansari等人（2013年）将弯曲、屈曲和自由振动研究扩展到了Timoshenko梁上。
许多研究利用非局部弹性理论研究了纳米级板的力学行为，包括Kirchhoff板的弯曲（Cornacchia等人，2019年）以及屈曲和自由振动分析（Cornacchia等人，2021年）。研究还扩展到了功能梯度材料（Ghandourah等人，2022年），探讨了功能梯度层压板的弯曲和屈曲行为。
另一种方法是基于应力驱动的非局部模型，用于分析纳米结构的力学行为。这种创新框架为传统的非局部弹性理论提供了不同的视角。Romano和Barretta（2017年；Romano等人，2018年）提出的模型已在多种理论框架中得到了应用，用于静态和动态分析。该模型已应用于多种纳米结构，包括纳米棒（Barretta等人，2018年；Barretta等人，2019b年；Apuzzo等人，2019年）、纳米梁（Das等人，2025年；Ussorio等人，2025年；Barretta等人，2024年；Penna等人，2021年；Luciano等人，2020年）、纳米板、纳米框架（Barretta等人，2019a年；Farajpour等人，2020年；Russillo等人，2021年），以及作为增强复合材料性能的碳纳米管和石墨烯片层（GPLs）（Sedighi和Malikan，2020年；Qaderi等人，2019a年；Qaderi等人，2019b年）。
在过去十年中，有限元公式在纳米结构的非局部力学分析中越来越受到科学文献的关注。Eltaher等人（2013年）研究了欧拉-伯努利梁的振动行为；Eltaher等人（2014年）提出了用于非局部Timoshenko功能梯度梁的弯曲和屈曲分析的不同框架；Adhikari等人（2013年）研究了纳米棒的非局部轴向振动。此外，非局部板理论也得到了广泛研究。例如，Anjomshoa等人（2014年）研究了纳米板的屈曲行为；Zargaripoor等人（2018年）使用高阶剪切变形理论分析了功能梯度板的自由振动，并通过有限元方法获得了解。一些有限元研究还研究了非局部纳米框架的振动行为（Numano?lu和Civalek，2019年）。Hosseini等人（2025年）开发了一种基于Eringen非局部定律的新位移矩阵方法。Mustapha（2020年）结合Timoshenko和Rayleigh-Love理论以及改进的偶应力模型，研究了框架的振动行为。Russillo等人（2021年）通过有限元分析将应力驱动模型应用于纳米框架，研究了其自由振动行为，并进一步结合了动态刚度矩阵方法和Wittrick-Williams算法。近年来，还研究了采用应力梯度非局部FEM的纳米框架的弯曲-扭转振动（Hozhabrossadati等人，2022年）。另外，Numano?lu和Civalek（2024年）研究了采用应变梯度FEM的剪切依赖纳米框架的振动行为。在过去的几十年中，晶格纳米结构在多种几何形状中得到了广泛应用，涵盖了汽车工业（Boursier Niutta等人，2022年）、土木与结构工程（Friedman和Ibrahimbegovic，2013年）、航空航天（Khan和Riccio，2024年）等多个工程领域。由于纳米结构具有出色的力学特性和可调的几何配置，研究人员利用多种理论和计算框架研究了它们的非局部纳米行为，以更好地理解其纳米行为和力学响应，并优化其在NEMS应用中的性能（Maconachie等人，2019年）。
尽管纳米晶格结构的力学行为已得到广泛研究，但针对复杂几何形状中的尺寸依赖效应的研究，尤其是通过有限元方法进行静态和动态分析的研究仍然相对有限。鉴于这一空白，本研究利用应变梯度弹性理论探讨了非局部晶格框架的振动行为。提出了一种创新的FEM公式，通过向传统框架元素中引入额外的自由度来捕捉纳米尺度效应。在针对欧拉-伯努利纳米梁和L形框架的基准解进行验证后，本文的结构如下：第2节介绍了基于应变梯度理论的控制振动方程及其弱形式的推导；第3节详细介绍了相应的FEM公式的发展，包括为具有非局部效应的特征值分析定制的刚度和质量矩阵；第4节通过与其他文献的对比进行了全面验证，并提出了对晶格纳米框架振动分析的原创应用。该研究通过系统验证证明了模型的准确性，并首次提供了对复杂纳米框架振动行为的新见解。
