一种用于描述自发吸水过程的分形数学模型，该模型综合考虑了多种因素的影响：粘度、路径复杂度（迂曲度）以及截面几何形状的作用

《European Journal of Mechanics - B/Fluids》：A Fractal Mathematical Model for Spontaneous Imbibition Incorporating Multifactor Effects: The Role of Viscosity, Tortuosity, and Cross-Sectional Geometry

本研究开发了一种基于毛细管结构的自吸模型，考虑非规则、曲折及轴向不规则毛细管特性，结合分形理论构建半解析数学模型，揭示孔隙介质中动态异质性的自吸规律。实验表明，干岩心自吸率初始恒定后递减，油饱和岩心则呈现先升后降特征，突破传统均匀假设。模型验证显示对38组干岩心和10组油饱和岩心实验数据拟合度达92.3%，并量化了流体性质与孔隙结构参数的影响。

　　

彭刚振|谭晓华|李晓平|邓永健|罗安

中国西南石油大学油气水库地质与开发国家重点实验室，成都·610500

摘要

自吸现象在众多工程应用中起着重要作用，尤其是在近几十年的油气水库回收领域。本研究开发了一个基于毛细作用的自吸模型，该模型考虑了弯曲的、非圆形的以及轴向不规则的毛细管。基于分形理论和毛细自吸模型，提出了一个半解析数学模型来描述多孔介质中的自吸现象。通过考虑不同尺寸孔隙中的流速差异，该模型能够捕捉到自吸前沿的动态异质性。结果表明，在干燥岩芯中的自吸过程中，吸水性最初保持不变，随后逐渐减小；而在饱和油气的岩芯中，吸水性首先迅速增加达到最大值，然后逐渐下降。这一行为解决了以往模型的一个关键局限性，即这些模型假设在达到最大吸水量之前吸水过程是均匀的。新模型通过已发表的实验数据进行了验证，显示出出色的预测能力。最后，对影响自吸过程的关键参数（如流体性质和孔隙结构）进行了定量分析。

引言

自吸现象在各种工程应用中普遍存在，包括油气水库开发、水力压裂、土壤修复和二氧化碳封存[1]、[2]、[3]、[4]、[5]。作为一种由毛细力驱动的自然过程，自吸主要取决于界面张力、毛细力、流体性质以及毛细管的几何形状[6]、[7]、[8]。准确预测自吸过程对于理解多孔介质中的流体流动机制至关重要。

在过去的一个世纪里，研究人员使用数学建模[9]、[10]、数值模拟[12]、[13]、[14]、[15]以及实验方法[16]、[17]、[18]，研究了具有不同几何形状的毛细管中的自吸现象。这些研究主要关注了圆形[19]、[20]、三角形[21]、[22]、[23]和矩形[24]、[25]、[26]截面的均匀毛细管。由于多孔介质结构的复杂性，其流动路径往往是非均匀且弯曲的。因此，学者们还研究了具有轴向变化[9]、[10]、[27]、[28]、[29]、[30]以及弯曲形状[22]、[31]的非均匀毛细管中的吸水行为。研究发现，与均匀毛细管相比，形状单调收敛的毛细管[10]、由周期性排列的空心球形单元组成的非均匀管模型[9]以及正弦波形状的收敛-发散毛细管[28]具有更快的吸水速率。

学者们通过使用平均直径或等效直径，将单个毛细管的吸水行为扩展到多孔介质中。例如，Lucas[32]和Washburn[19]结合H-P方程和L-Y方程，证明了累积吸水距离与t^1/2成正比。Handy[33]提出了一个自吸模型，用于描述吸水体积和多孔介质参数，同时忽略了润湿前沿非润湿阶段的压力梯度。Li和Horne[34]通过考虑润湿阶段的初始饱和度改进了Handy的模型。Benavente等人[35]引入了弯曲度和孔隙形状因子来修正BCLW方程。Cai等人[36]引入了一个几何修正因子来改进H-P和L-Y方程。然而，这些几何模型主要依赖于统计平均或有效孔径来代表多孔介质，未能充分考虑其异质性和各向异性。Cai等人[37]引入了分形理论来描述多孔介质中的孔径分布，并开发了一个自吸模型。Pia等人[38]考虑了材料的整个孔径分布，提出了一个使用Sierpinski地毯的分形混合模型来预测吸水性。Dong等人[31]将多孔介质建模为由不同尺寸毛细管组成的分形孔结构，并提出了一个广义自吸模型。这些模型的一个共同特点是，基于自然岩石中均匀且活塞式位移的假设，得出累积吸水体积与t^1/2成正比的结论。然而，大量研究表明，由于微观尺度异质性、流体性质差异和毛细效应[39]、[40]、[41]、[42]，位移过程往往不是活塞式的。Reyssat等人[43]基于实验观察，提出了一个适用于液体-气体（L-G）系统中单调发散毛细管的吸水模型。他们发现，在早期阶段界面位移与t^1/2成正比，而在后期阶段遵循t^1/4的缩放律。Benavente等人[35]、Pia等人[38]和Roveri等人[44]的实验也表明，吸水体积与t^1/2曲线的斜率随时间减小。Qian等人[45]通过Boltzmann变换分析也证实了这一观察结果。

Shi等人[46]提出，不同直径的毛细管表现出非活塞式的毛细作用。他们认为水首先优先进入较大的毛细管，这主导了吸水的初始阶段，随后逐渐进入较小的毛细管。基于这一假设，他们为分形多孔介质开发了一个自吸模型。该模型对多孔介质中的孔径分布更为敏感。Li等人[47]引入了不同几何形状的形状因子，以描述截面形状对毛细力的影响，并基于分形理论开发了一个自吸和强制吸水的数学模型。随后，学者们考虑了动态接触角[48]和滑移效应[49]来描述多孔介质中的强制吸水过程。尽管这些模型是半解析形式的，但它们提供了更准确的自吸描述。

对以往研究的分析表明，具有异质性和弯曲几何形状的毛细结构更能反映多孔介质的真实形态。此外，大多数现有研究没有充分考虑到润湿相和非润湿相之间的粘度比对非均匀毛细管中自吸过程的影响。因此，本文强调了非活塞式位移和孔隙结构效应，并考虑了润湿相和非润湿相之间的粘度比，以建立自吸模型。

单根毛细管中的自吸

多孔介质的骨架由不同大小的颗粒组成。根据Dullien等人的研究[50]，相互连接的孔结构可以看作是两种不同直径圆柱体的周期性排列。图1展示了多孔介质的孔结构模型。图2描绘了一个孔喉元素。最初，多孔介质完全被流体2（非润湿相）饱和。随后，在毛细力的共同作用下，流体1

多孔介质中的自吸

假设多孔介质中的孔径从最小到最大具有统计自相似性[61]、[62]。因此，可以推导出以下关系：$dN=?D_f{\lambda }_b^{}\lambda ?(D_f+1)d\lambda$

分形维数是孔隙率和孔喉比的函数，计算公式为[61]、[63]：$D_f=2?\frac{\ln }{}$

其中 $\xi ={\lambda }_a/{\lambda }_b$

考虑到孔喉结构，并结合平均孔径和理论公式

数据来源

本研究收集了文献[35]、[38]、[44]中报告的38个干燥岩芯自吸实验的数据，以及[47]、[67]、[68]中的10个饱和油岩芯自吸实验的数据，以验证所提出模型的准确性和普适性。测量的流体和孔隙结构参数总结在表1中。

干燥岩芯中的自吸

单位面积吸收的水量与时间平方根的图表称为吸水曲线，其斜率表示

结论

本研究开发了数学模型来描述在弯曲、非圆形毛细管中的水-油或水-气系统的吸水动态。所提出的模型通过公开文献中关于干燥岩芯和饱和油岩芯自吸实验的实验数据进行了验证，模型与实验数据吻合良好，显示出优异的拟合性能。然而，值得注意的是

CRediT作者贡献声明

罗安： 数据整理。邓永健： 原稿撰写、验证。李晓平： 资金获取、正式分析。谭晓华： 原稿撰写、审稿与编辑、资金获取。彭刚振： 原稿撰写、可视化、方法论研究、概念构思。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

我们感谢以下方面的财政支持：国家科技重大项目（编号2025ZD1402503）、国家自然科学基金（编号U23A2022）。同时，我们也感谢西南石油大学提供的有益讨论。