基于地形驱动的傅里叶变换和受限A-Star搜索的铁路垂直线路两阶段自动化设计

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Two-stage automated design of railway vertical alignments with topography-driven Fourier transform and constrained A-Star search

垂直对齐优化两阶段方法结合傅里叶变换地形分析与A*算法路径搜索，通过离散化可行区域并动态处理多约束条件，实现复杂山地铁路的降本设计。

　　

宋涛然|蒲浩|张宏|保罗·肖恩菲尔德|彭立辉

摘要

铁路项目的垂直线型设计至关重要，因为它在很大程度上决定了项目的建设投资、生命周期成本以及各种其他影响。然而，在理论上无穷多的可能方案中，要优化一个能够匹配铁路沿线起伏地形的垂直线型同时考虑大型结构（如桥梁和隧道）的权衡以及各种设计约束是非常困难的。为了解决这个问题，提出了一种两阶段自动化垂直线型优化方法。在第一阶段，将铁路地形线转换为空间波形，并通过地形驱动的快速傅里叶变换（FFT）的频谱特征分析进行建模。随后，根据得到的傅里叶级数函数确定关键地形特征位置，并通过处理特定的设计约束来确定可行的垂直线型设计搜索区域。在第二阶段，定制了A-Star算法用于垂直线型搜索。首先，在上述可行的搜索空间内离散化A-Star节点，然后设计了一个综合的约束处理操作符以确保优化过程中解的可行性。此外，还集成了一种确定性仿真算法来生成A-Star路径的加权有向图。最终，将所开发的方法应用于一个复杂的山区铁路线型案例。本文详细讨论了两个阶段的算法性能。

引言

铁路是重要的交通基础设施，其三维（3-D）线型描述了铁路的空间中心线（Gao等人，2022年；Song等人，2021年）。因此，线型设计是一项重要的土木工程工作，它决定了铁路的位置（如方向和穿越区域；Pu等人，2023a年；Vázquez-Méndez等人，2021年）、几何形状（如曲率和坡度；Jong和Schonfeld，2003年；Pu等人，2024a年）以及建设内容（如桥梁、隧道和土方工程；Shafahi和Bagherian，2013年；Sushma和Maji，2020年）。通常，要生成一个三维铁路线型，需要实施设计水平和垂直线型组件的两个过程（图1）。首先在研究区域内确定铁路的水平布局，然后利用该水平线型的地形数据来配置相应的垂直线型。接下来，可以迭代地优化水平和相应的垂直线型（Zhang等人，2023b年；Pu等人，2024b年）。

通过上述步骤确定的垂直线型极大地影响了铁路的成本，因为它决定了与坡度相关的几何形状和详细的建设配置（Yang等人，2021年；Song等人，2023年）。垂直线型设计的输出还为评估三维线型方案及其可行性提供了反馈（Gao等人，2021年；Wan等人，2024年）。然而，垂直线型设计非常困难，因为它旨在在理论上无穷多的线型方案和地形线型之间找到最佳匹配关系，以最小化总系统成本，而这本身是非线性和非凸的（Pushak等人，2016年；Pu等人，2021年）。此外，为了降低成本，沿线的复杂铁路结构组合通常需要重大的桥梁-隧道权衡，特别是在山区（Pu等人，2019年；Song等人，2020年）。更复杂的是，在垂直线型设计过程中需要处理多种耦合的几何和结构约束，这为生成可行的线型搜索空间带来了巨大挑战（Kang等人，2009年；Lai和Schonfeld，2016年）。因此，传统的垂直线型设计是一项要求很高的任务。此外，由于人力和时间的限制，人类设计师也可能忽略有潜力的线型方案（Vázquez-Méndez等人，2018年；Zhang等人，2020年）。

为了解决这些问题，已经进行了大量关于自动化垂直线型优化的研究。在这一领域，除了少数研究关注优化铁路/道路垂直线型的运营成本（例如，Kim等人，2013年；Li等人，2022a年）外，大多数研究人员致力于与建设成本相关的垂直线型开发。为了最小化这些成本因素，还提出了各种解决方案方法。21世纪提出的代表性方法总结在图2中，主要可以分为两类：基于编程的方法和受自然启发的启发式方法。例如：

(1)

基于编程的方法（Moreb和Aljohani，2004年；Beiranvand等人，2017年；Monnet等人，2020年；Momo等人，2023年）：Lee和Cheng（2001年）提出了一种混合整数程序，用于高效计算地搜索高速公路立交桥的最低成本垂直剖面；Hare等人（2014年）通过使用分段二次曲线改进了混合整数线性程序（Hare等人，2011年），以最小化土方成本；Booto等人（2020年）开发了一种样条线性规划方法（Moreb，2009年），用于考虑土方成本和燃料相关排放成本的垂直道路线型优化。

(2)

受自然启发的启发式方法（Fwa等人，2002年；Babapour等人，2018年；Kim等人，2019年；Ghanizadeh等人，2020年）：Bababeik和Monajjem（2012年）制定了一个数学模型，用于最小化铁路垂直线型的建设和运营成本，并用遗传算法解决了该模型；Sushma等人（2022年）定制了一种蚁群优化方法，用于考虑多种设计约束的垂直高速公路线型；Li等人（2022b年）设计了一种粒子群算法，用于同时优化地铁垂直线型和车站高程。

(3)

除了图2中显示的方法外，还开发了几种其他类型的垂直线型设计算法。例如，Kim等人（2013年）提出了一种确定性仿真方法，用于分析不同垂直线型方案的列车运行和能源消耗；Li等人（2022a年）采用了一种高斯伪谱方法来寻找高效的地铁垂直线型设计方案；Zhang等人（2023a）提出了一种蒙特卡洛树搜索算法，用于优化山区铁路的垂直线型，以最小化其建设成本。

尽管上述方法在各种垂直线型设计场景中得到了成功应用，但它们大多采用传统的试错评估策略。更具体地说，它们通常首先在起点和终点之间生成一个垂直线型方案。然后，根据详细的地形信息评估该线型的可行性，如果满足所有约束（否则调整或直接排除不可行的线型），则根据目标函数评估其适应性。最终，可以使用特定的算法操作符（如遗传算法和粒子群算法）对该方案进行优化和改进。因此，在搜索过程中是被动分析地形输入的。然而，这可能会浪费时间和资源，扫描不适合线型的区域。在实际工作中，经验丰富的设计师可以根据地形信息主动找到适合线型的区域。这样，垂直线型的生成和调整可以有效地缩小到预先选定的适合线型的地形区域。因此，现有的垂直线型优化方法通常侧重于制定线型解决方案，但对基本地形数据的先验量化描述关注较少，从而影响了搜索效率和质量。

因此，首先对地形线进行建模并识别关键地形特征以指导后续的垂直线型优化是非常可取的。在文献中，Zhang等人（2023a）建议直接用一组N阶多项式函数来近似地形线进行垂直线型设计。不幸的是，地形拟合过程不够灵活和自动化，需要人机交互调整。此外，线型搜索是通过一组称为“切割平面”的受限空间来实施的（Jong和Schonfeld，2003年；Jha和Schonfeld，2004年；Davey等人，2017年），而不是在整个可行区域内进行。因此，有潜力的方案可能会被忽略。因此，本文的动机是通过提出一种两阶段的自动化设计方法来填补当前知识的空白。在这项工作中，将铁路建设成本作为目标函数，并在优化模型中制定了若干几何和结构约束。本文的贡献如下：(1)

在第一阶段，对地形输入进行建模和分析。为此，首先将铁路地形线抽象为空间波形，并通过快速傅里叶变换转换为三角函数。然后，根据傅里叶函数的频谱特征分析确定地形特征点（即坡度变化最大的位置）。接下来，通过处理多个设计约束来修改这些关键地形点，以生成后续垂直线型搜索的可行搜索区域。

(2)

在第二阶段，使用处理后的地形数据优化铁路垂直线型。具体来说，定制了A-Star算法来解决这个问题。首先，在可行的搜索空间内离散化A-Star节点。然后，在A-Star扫描过程中动态处理所有设计约束，以生成优化的铁路垂直线型。此外，将建设成本定义为一个特定的距离度量，并结合确定性仿真算法来生成A-Star路径的加权有向图。

(3)

最后，将提出的两阶段方法成功应用于一个位于复杂山区的实际铁路案例。探讨并比较了两个阶段的算法性能。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍铁路垂直线型优化的模型构建。第3节和第4节分别介绍了解决优化模型的第一阶段（地形线数字化）和第二阶段（垂直线型优化）的解决方案方法。第5节介绍了一个实际的铁路案例。第6节总结了这项研究。

章节片段

优化模型

优化模型通过数学表达式简化并制定了现实世界的工程问题。通常，优化模型包括设计变量、目标函数和约束。

解决方案方法第一阶段：地形线数字化

为了解决优化模型，本文提出了一种两阶段方法。在本节中，将解释第一阶段的方法，该方法侧重于使用傅里叶变换主动建模地形数据。

解决方案方法第二阶段：垂直线型优化

基于上述用于生成可行搜索空间的地形驱动分析，本节将介绍使用A-Star算法进行垂直线型设计的第二阶段方法。

案例研究

在这部分中，将把为铁路垂直线型优化设计的兩阶段解决方案方法应用于一个实际案例，以证明其有效性。

结论

垂直线型设计对于铁路项目来说是一项重要的任务，因为它极大地影响了建设成本。然而，由于搜索空间庞大、设计约束众多、目标函数非线性和非凸以及可能的方案数量巨大，这也使得它成为一个复杂的土木工程问题。尽管已经投入了大量努力来解决这个问题，但仍需要深入研究以找到成本最低的垂直线型

CRediT作者贡献声明

宋涛然：写作 – 审稿与编辑，撰写原始草稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，数据管理，概念化。蒲浩：写作 – 审稿与编辑，撰写原始草稿，验证，监督，资源管理，项目协调，资金获取，概念化。张宏：撰写原始草稿，验证，方法论，调查，概念化。保罗·肖恩菲尔德：写作 – 审稿与编辑，写作 –

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢

本工作部分由国家重点研发计划（项目编号：2021YFB2600403）、国家自然科学基金（项目编号：52078497和52308451）以及高速铁路建设国家工程实验室开放基金（项目编号：HSR202103）资助。作者感谢四位匿名审稿人提出的宝贵建议，这些建议极大地改进了本文。