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提出基于马尔可夫过程与威布尔分布的随机模型，统一描述陶瓷材料中短裂纹的非线性断裂强度与裂纹长度的关系及散度，理论分析揭示威布尔形状参数控制非线性曲率，过程区尺寸影响散度，模型通过实验验证有效。
松田信也 | 戈达幸一
香川大学工程与设计学院工程与设计系先进材料科学领域，日本香川县高松市林道2217-20
摘要
本文提出了一个随机模型，用于统一描述含有短裂纹的陶瓷材料中断裂强度与裂纹长度之间的非线性关系及其相关散布现象。尽管线性弹性断裂力学（LEFM）能够成功解释长裂纹范围内的断裂行为，但短裂纹表现出明显的非线性特征和显著散布，而这些现象无法被传统的确定性模型充分捕捉。所提出的框架将离散化的有效裂纹长度状态之间的转换过程表述为一个马尔可夫过程，并结合了断裂强度的威布尔分布。该框架能够同时描述非线性平均响应及其相关散布。理论分析表明，短裂纹范围内的非线性行为受威布尔形状参数的控制，而过程区的有限尺寸决定了散布的大小，但不影响平均响应。该模型通过四种陶瓷材料的实验数据进行了验证，证明了其准确再现非线性行为和相关变异性的能力。由于该模型仅依赖于可独立测量的材料属性（包括威布尔参数、断裂韧性以及过程区长度），因此为陶瓷组件的可靠性评估提供了一个实用且物理上透明的框架。
引言
含有短裂纹的陶瓷材料的断裂行为表现出明显的非线性强度-裂纹长度关系，并伴有显著的散布。尽管非线性平均响应已得到广泛研究，但其相关变异性的起源和物理作用以及其与非线性曲率的关系仍不明确。
由于陶瓷材料具有优异的电性能、耐热性和耐磨性，以及比金属更高的比强度，它们最近在微机电系统（MEMS）器件[[1], [2], [3]]、高温环境（如航空发动机[[4], [5], [6]]和固体氧化物燃料电池（SOFCs）[[7], [8], [9], [10]]中得到了广泛应用。除此之外，陶瓷材料还广泛应用于生物医学植入物[[11], [12], [13]]、核能与聚变能源系统[[14,15]]、切削工具和耐磨部件[[16,17]]，以及在恶劣环境下运行的电子封装和电源设备[[18], [19], [20]]中。关于高温陶瓷组件的最新综述强调，可靠性和缺陷容忍度仍然是关键的设计问题，因为结构陶瓷的强度主要受加工和服役过程中引入的表面和内部缺陷的影响[[21], [22], [23]]。即使在具有改进损伤容忍度的陶瓷基复合材料中，也观察到了类似的缺陷控制行为[[24], [25], [26]]。
陶瓷材料本质上具有脆性，加工和服役过程中引入的缺陷通常表现为各种类型的表面和近表面裂纹（如划痕和赫兹裂纹），这些裂纹是主要的断裂起源[[27], [28], [29], [30], [31], [32]]。因此，裂纹长度的变化主导了强度的可靠性，因为每个陶瓷组件的强度都受到表面质量以及表面和内部裂纹存在的影响。因此，强度通常使用威布尔分布进行统计评估[[33,34]]，并将其视为一个随机变量[[35]]。然而，传统的威布尔分析并未明确量化导致断裂的裂纹长度，也没有描述不同裂纹尺寸范围内裂纹长度与强度之间的耦合关系。此外，预测缺口、拐角和孔洞等设计元素对陶瓷组件强度的影响至关重要。了解从短裂纹到长裂纹范围内裂纹长度对陶瓷材料断裂强度的影响对于确保这些组件的可靠性至关重要。
通常，陶瓷材料的断裂强度（σ_f）是通过线性弹性断裂力学（LEFM）[35,36]，利用断裂韧性K_IC和最长裂纹长度a_eq来确定的：
其中a_eq此后被称为等效裂纹长度[[37]]。尽管LEFM能够准确预测长裂纹范围内的断裂强度，但它系统性地高估了短裂纹的强度，并且无法捕捉到实验观察到的强度与裂纹长度之间的非线性关系（如图1所示[[36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43]]）。这种非线性源于裂纹尖端形成的塑性变形区（过程区），其大小和特性受微观结构的影响，在短裂纹范围内变得不可忽略。为了提供更广泛的视角，附录A总结了从金属疲劳到陶瓷材料中这种依赖于裂纹长度的断裂准则的历史演变。使用确定性断裂力学模型对陶瓷材料的断裂强度的非线性行为进行了广泛研究，这些模型关注裂纹尖端的过程区和特征长度尺度，包括虚拟裂纹模型VCM[[37,44,45]]、晶粒断裂模型[[46]]、基于R曲线的方法[[47], [48], [49]]、基于过程区大小的准则[[50,51]]、惰性强度概念及其变化[[52]]，以及耦合的G和K断裂准则[[53]]。这些模型已成功应用于含有各种类型缺陷的陶瓷材料，例如表面微裂纹和人工引入的任意几何形状的表面缺陷[[54], [55], [56], [57]]。总体而言，这些方法阐明了非线性平均强度-裂纹长度响应的物理起源。
缺口和几何不连续性进一步影响了陶瓷材料的强度和断裂概率。通过实验测量并统计分析了氧化铝陶瓷的缺口强度，以评估缺口对材料强度的影响[[58]]。此外，还使用多轴威布尔方法评估了含有圆形缺口的陶瓷试样的断裂概率[[59]]。最近的研究进一步强调了微观结构异质性和内在抗拉强度在裂纹起始过程中的重要性[[60]]。Ito等人[[61]]通过有限元分析（FEA）探讨了断裂位置对非线性行为的影响，考虑了表面裂纹和内部裂纹之间的竞争。Zhang和Yang[[62]]使用VCM分析了强度和断裂韧性的统计特性。这种分析基于每个材料常数的统计数据处理，因此不能被归类为概率模型。尽管取得了这些进展，现有的确定性框架主要提供平均预测，并未明确描述非线性区域内控制断裂的裂纹长度或断裂强度的变异性。
传统的确定性断裂模型假设材料属性和裂纹特性是固定的，因此无法解释实际陶瓷材料中观察到的内在变异性。为了克服这一限制，已经为脆性和陶瓷材料开发了概率断裂力学（PFM）框架。除了经典的最弱环节统计方法外，还开发了各种基于PFM的方法来量化复杂加载条件下的强度变异性和断裂概率[[63], [64], [65], [66], [67], [68], [69], [70], [71], [72]]，并且还提出了考虑多种断裂机制的竞争风险模型[[74,75]]。然而，在这些概率方法中，裂纹尺寸通常仅通过统计参数或假设的缺陷群体来隐式处理。因此，它们没有明确描述从短裂纹到长裂纹范围内控制断裂的裂纹长度的变异性如何表现。
相比之下，金属疲劳领域对与短裂纹相关的非线性行为进行了广泛研究。经典框架（包括Kitagawa–Takahashi图及其相关扩展，如El Haddad等人提出的框架）表明，依赖于裂纹长度的准则自然会导致短裂纹和长裂纹范围之间的明显非线性转变[[76], [77], [78], [79], [80], [81], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88], [89], [90]]。基于这些概念，Taylor利用临界距离理论（TCD）解释了Kitagawa–Takahashi图，提供了对非线性转变的物理透明解释[[91,92]]。他还使用P-a图重新表述了该图，其中裂纹增长的概率表示为裂纹长度的函数，从而提供了对该转变的补充概率视角[[93], [94], [95]]。最近的研究表明，这种非线性区域可以由裂纹起始和扩展的竞争机制产生，其形状和范围受到威布尔形状参数的强烈影响[[96]]。这些研究表明，确定性和概率因素共同决定了金属疲劳中的非线性行为。相比之下，尽管类似的概念也已应用于陶瓷材料，但现有的方法本质上仍然是确定性的，尚未建立能够同时捕捉陶瓷材料的非线性强度行为及其相关变异性的概率框架。
因此，本研究旨在建立一个概率框架，以同时描述陶瓷材料的非线性强度-裂纹长度关系及其在短裂纹范围内的相关变异性。为此，我们提出了一个基于马尔可夫过程的随机模型，其中等效裂纹长度被离散化为多个断裂状态，状态之间的转换由依赖于施加应力的转移概率控制。这种表述方法能够预测非线性平均强度-裂纹长度关系，同时量化断裂时等效裂纹长度的变异性。通过与几种陶瓷材料的实验断裂数据比较，验证了所提出的模型，并讨论了其与现有确定性和概率方法的优缺点。
建模
开发了一个随机模型，用于描述脆性陶瓷材料中断裂强度与裂纹长度之间的非线性关系，特别是在传统LEFM准则不适用的短裂纹范围内（见图1）。该模型通过逐步减少初始存在的等效裂纹长度的一个元素来定义一系列假设的裂纹长度状态。
实验程序和材料参数
所提出的模型使用了Kitazumi等人[[44]]和Sato与Takahashi[[54,55]]提供的实验数据集进行了验证，这些数据集提供了不同裂纹长度和缺陷类型的系统断裂强度数据。首先介绍了Kitazumi等人采用的实验程序概述。使用了三种类型的陶瓷材料：92% Al?O?、Si?N?和PSZ作为测试样品。样品为尺寸为4×5×24毫米的矩形棒材。此外，Si?N?还制备成了环形样品。
所提出随机模型的验证
本节通过将所提出的随机框架的预测结果与几种陶瓷材料的实验断裂数据进行比较来验证其有效性，重点关注两个关键方面：(i) 在短裂纹范围内，强度变异性在控制断裂强度与裂纹长度之间的非线性关系中的独特物理作用；(ii) 过程区大小在控制相关散布中的独特物理作用。
图6（a）-（c）展示了预测结果与实验结果。
结论
本研究通过将离散化的有效裂纹长度状态之间的转换过程表述为一个马尔可夫过程，并结合断裂强度的威布尔分布，开发了一个随机模型。该框架能够统一描述含有短表面裂纹的陶瓷材料中的非线性平均响应及其相关散布现象——这是传统确定性模型所缺乏的能力。
结果明确了物理作用的不同分离：非线性行为的曲率...
作者贡献
松田信也：概念化、形式分析、研究方法、数据管理、验证、可视化、初稿撰写；戈达幸一：项目管理、审稿和编辑。
CRediT作者贡献声明
松田信也：初稿撰写、可视化、验证、方法论、研究、形式分析、数据管理、概念化。戈达幸一：审稿与编辑、项目管理。
