化学物质通过地质多孔介质的传输受多种因素影响，包括介质的结构和组成、流体速度以及所涉及化学物质的性质（无论是溶解态还是分散态，以及其反应能力、形成复合物的能力或吸附到介质上的能力）。具体来说，对于高度均匀的介质，传输通常是费克定律遵循的，即可以通过平流-扩散方程（ADE）在足够大的空间和时间尺度上进行量化。对于更不均匀的系统，传输行为会偏离费克定律（Berkowitz等人，2006年），即使在非常轻微不均匀的系统中也能观察到这种效应（Zhang和Lv，2007年）。非费克传输通常表现为不对称的、长尾的化学羽流，而费克传输下的化学羽流通常是“更紧密”的，并以对称的高斯方式发展（即，从初始注入点开始的浓度分布沿任何测量轴都是高斯的）。使用基于ADE的模型对不均匀系统进行建模需要对该系统进行映射，即在整个系统体积内分配水力传导率值，然后显式求解速度场。然而，精确的几何结构通常是未知的且难以调查的，因此更倾向于使用能够产生不均匀性效应（例如长尾化学羽流）的模型，同时将整个域视为一个单一的有效连续体（Berkowitz等人，2006年；Naseri等人，2020年）。
在研究污染物通过地质多孔介质的传输时，一个重要的问题是污染物在一个地点（例如井、含水层区域）停留的时间长度，直到浓度降低到安全或可处理的水平（Dedewanou等人，2015年）。这个问题的答案在很大程度上取决于长尾化学羽流的出现，特别是在考虑砷或重金属等有毒污染物时，极低的浓度就足以使地下水无法饮用（Nouri等人，2008年；Podgorski和Berg，2020年）。因此，有必要开发和使用能够描述实际地质系统中可能出现的传输行为谱系的模型。
在结构不均匀性的最大尺度相对于感兴趣的尺度足够小的情况下，最初的非费克传输可能在长时间和/或大距离上趋于费克行为（Dentz等人，2004年；Marseguerra和Zoia，2007年；Xiong等人，2006年）；这种行为在这里被称为渐近费克。直观上，可以将其视为观察不均匀域的一个子部分，并逐渐“放大”，使得各个结构元素变得越来越小，直到整个域在宏观上看起来是均匀的（图1）。通过这样的系统迁移的化学羽流在足够长的时间和/或距离上会表现出越来越像费克定律的传输行为，就像在均匀域中迁移一样。尽管这种效应在概念上很容易理解，并且可以在数值模拟中展示，但在实验中却很难观察到（Berkowitz等人，2000年；Cortis等人，2004年；Dentz等人，2004年）。这主要是因为展示传输趋于费克行为可能需要从注入点开始跨越非常宽的距离进行测量，而所有这些测量都在结构不均匀性有限的受控系统中进行。总体而言，关于渐近费克传输的已发表文献很少（Dentz等人，2018年）。
在这项工作中，非费克和异常这两个术语可以互换使用，用来描述任何不能被ADE很好地描述的溶质传输行为，包括在有限时间内甚至“短”时间内。术语传输异常程度用于描述传输行为与费克定律的差异程度。通常，系统越不均匀，传输异常程度越大。
虽然费克传输和异常传输之间的根本区别在于羽流形状的演变方式，但实际适用于现实世界系统的测量通常是系统内某一点（或几个点）处的浓度-时间曲线（BTCs）。在一些实验工作中，已经报道了对化学羽流的直接成像（Marica等人，2011年；Trabucchi等人，2023年）。通常，BTCs反映了羽流形状，因此不对称的长尾羽流会产生不对称的重尾BTCs。然而，对于相对较低的佩克莱特数，羽流形状有足够的时间在穿过测量位置时演变，这种情况下完美的高斯羽流也可能产生不对称的BTCs（Ogata和Banks，1961年）。
如果系统本身随时间演变，传输的性质也会发生变化。例如，沉淀和溶解（P&D）反应可以影响多孔介质的结构，从而导致速度场的变化。Cohen等人（2025年）测量了在60厘米长的沙填充柱中石膏沉淀程度增加时惰性示踪剂的BTCs，发现系统内沉淀程度的增加导致了传输异常程度的增加，表现为越来越不对称的重尾BTCs。这些BTC行为的趋势在实验和模拟中都有观察到（Deng等人，2025年；Saeibehrouzi等人，2025年；Trabucchi等人，2023年）。
如图1所示，将传输行为从高度异常到费克定律的平滑过渡（即没有单一时刻出现突变）概念化意味着可以将可能的传输行为范围视为一个连续谱，而不是费克/异常的二分法。这种基于光谱的方法不仅在考虑逐渐延长的时间或距离时有用，而且对于研究演变系统也很有用。特别是，如果系统的初始状态是高度均匀的（例如沙填充柱），并且它经历了逐渐的变化（例如由于沉淀），那么通过该系统的传输可以想象为表现出类似于图1中“放大”效应的效果，但方向相反：传输最初可能接近费克定律，然后逐渐变得更加异常，最终不可避免地进入渐近费克区域。
那么就出现了如何适当建模这种演变系统的问题，其中整体传输异常程度可能最初（或始终）相对较低，并且传输预计（至少对于演变系统的某些状态）是渐近费克的。使用基于连续时间随机游走（CTRW）方法的模型可以实现对广泛传输行为的建模，同时将整个域视为一个单一的有效介质。这类模型在概念上不同于传统的随机游走模型：虽然这两种类型的模型都使用模拟粒子来表示溶解或分散的化学物质包，并根据运动方程在系统内移动（即过渡；步进），但CTRW模型中的运动方程同时控制了时间上的过渡和空间上的过渡——也就是说，CTRW模型描述了粒子何时移动以及在哪里移动（Berkowitz等人，2006年；Bijeljic和Blunt，2006年；Rhodes等人，2008年）。某些CTRW模型公式能够描述渐近费克传输，如下所述。
在第2.1节中，简要介绍了CTRW模型，不仅描述了本工作中使用的模型，还介绍了其发展的原始模型和概念。这样做既是为了说明为什么某些模型中的CTRW幂律指数（在第2.1.1节中介绍）被限制在某些值范围内，也是为了向对CTRW建模感兴趣的读者提供可能有用的通用信息。使用CTRW进行的传输模拟在第3.1节中进行并展示，并与基于ADE的费克传输进行了比较。研究了模型变量值的影响，并讨论了使用宽参数范围对于幂律指数的有效性。然后，在第3.2节中，基于上述模拟的洞察，对Cohen等人（2025年）的一些结果进行了CTRW-PT分析。最后，在第3.3节中，定义并回顾了基于BTCs的易于计算的传输参数，以确定演变系统中传输异常程度趋势的有用度量。Cohen等人（2025年）表明，其中两个参数——洗脱时间窗口和最后一个峰的斜率——是有用的。
