异维异构比例时滞神经网络的图像加密主从同步研究

《Neural Networks》：Master-slave synchronization of heterogeneous dimensional proportional delay neural networks for image encryption

这篇论文研究了具有异维结构的主从比例时延神经网络（PDNNs）同步问题。作者设计了降维观测器和反馈控制器，并选取适当的Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF），为系统建立了全局渐近同步（GAS）准则。进一步，他们优化设计出自适应观测器和控制器，并选用Lyapunov泛函（LF），获得了全局指数同步（GES）准则。文章通过数值算例和图像加密应用，验证了方法的有效性，其核心创新在于将自适应控制和降维观测器应用于解决异维、无界时延（比例时延）神经网络的同步难题。

　　

模型描述与准备知识

考虑具有不同维度的主从系统，以下面的比例时延神经网络（PDNNs）作为主系统模型：

{ α?(t) = ?Cα(t) + Af(α(t)) + Bf(α(qt)) + J, t ≥ t₀≥ 0,

y(t) = Dα(t),

α(s) = φ(s), s ∈ [q?t₀, t₀],

其中 α(t) ∈ R^s是状态向量，y(t) ∈ R^s_n是主系统的输出函数。α(t) = (α₁^T(t), α₂^T(t), …, α_n^T(t))^T，其中 α_i(t) ∈ R^s_i(s_i∈ Z⁺)，且 Σ_i=1ⁿs_i= s；f^T(α(t)) = (f₁^T(α₁(t)), f₂^T(α₂(t)), …, f_n^T(α_n(t))) ∈ R^s表示激活函数，f(α(qt)) = (f₁^T(α₁(q₁t)), f₂^T(α₂(q₂t)), …, f_n^T(α_n(q_nt)))^T且 f_i(?)…

全局渐近同步

定理1

如果系统（7）的非线性满足假设（H₁），并且存在 s × s 矩阵 M₁, M₂, P₁> 0, P₂, P₃> 0 使得 [P₁P₂; * P₃] > 0，以及 s × s 对角矩阵 Q_i> 0 (i=1,2), K > 0, G > 0, U₁> 0, U₂> 0 满足条件 ? < 0，那么系统（1）和（2）在观测器（3）和控制器（4）的作用下可以实现全局渐近同步（GAS）。其中 Q_i= diag(Q_i1, Q_i2, …, Q_in)，Q_ij(j ∈ Z⁺) 是 s_j× s_j对角矩阵，K = diag(k₁, …, k_s), G = diag(g₁, …, g_s)。?₁₁= Q₁? M₁^T(C+FD) ? (C+D^TF^T)M₁? U₁Ψ₁+ P₂+ P₂^T，?₂₂= ?q?Q₁? U₂Ψ₁，?₃₃= Q₂? U₁，?₄₄= ?U₂? q?Q₂，?₅₅= ?M₂^T? …

全局指数同步

我们设计新的观测器和控制器如下：

η?_i(t) = ?C_iη_i(t) + Σ_j=1^n-1[A_ijf_j(η_j(t)) + B_ijf_j(η_j(q_jt))] + A_inf_n(z(t)) + B_inf_n(z(q_nt)) + J_i? exp[λ(q?^?1?1)t]k_i(t)[η_i(t)?α_i(t)] ? exp[λ(q_i^?1?1)t][η_i(t)?α_i(t)],

u(t) = ?z(t) + Σ_j=1^n-1[A_njf_j(η_j(t)) + B_njf_j(η_j(q_jt))] + A_nnf_n(z(t)) + B_nnf_n(z(q_nt)) ? āg(z(t)) ? B?g(z(q_nt)) ? (exp[λ(q_n^?1?1)t] + k_n(t)exp[λ(q?^?1?1)t])[z(t)?y(t)],

其中 k?_i(t) = ε_iexp(λq?^?1t)ω_i^T(t)ω_i(t)，ε_i> 0 是自适应控制参数。

定理2

在假设（H₁）下，如果存在 λ > 0 使得 Γ = diag(Θ₁, Θ₂) ≤ 0，那么系统（1）-（2）可以…

数值算例

例1

考虑主系统模型由以下PDNNs描述：

{ α?(t) = ?Cα(t) + Af(α(t)) + Bf(α(qt)) + J,

y(t) = Dα(t),

其中 C = diag(0.1, 0.2, 0.3), A = [1,0,0; 1,0,1; 0,1,0], D = [0,1,0; 0,0,1], B = [0,0,0; 0,1,5; 0,5,1], f(α(qt)) = (sin(α₁(q₁t)), sin(α₂(q₂t)), sin(α₃(q₂t)))^T, α(t) = (α₁(t), α₂(t), α₃(t))^T, f(α(t)) = (sin(α₁(t)), sin(α₂(t)), sin(α₃(t)))^T, t₀= 0, q₁= 0.2, q₂= 0.9, J = (0,1,1)^T, y(t) = (α₂(t), α₃(t))^T.

于是容易得到 q? = 0.2, Q? = diag(0.5,0.5,0.5), Ψ? = diag(1,1,1), Ψ = diag(?1,?1,?1) = Ψ₁= diag(?1,?1…

结论

本文解决了作为主从系统的一类PDNNs（其特点是主从系统维度不同且存在无界时延）的同步问题。首先，设计了反馈观测器和反馈控制器来研究主从系统的全局渐近同步（GAS），并推导了所研究系统的相应GAS准则。随后，将观测器和控制器优化为自适应类型，以研究…