自然数的划分及其有序表示函数

非负整数集的方程解差研究|分拆数理论|集合结构分析|常数差条件|不可行性证明

　　

摘要

设 $\mathbb{N}$ 为所有非负整数的集合。对于一个集合 $A \subseteq \mathbb{N}$，定义 $R_2(A,n)$ 和 $R_3(A,n)$ 分别表示方程 $n = a_1 + a_2$ 的解的数量，其中 $a_1, a_2 \in A$，并且满足 $a_1 < a_2$ 或 $a_1 \leq a_2$。如果 $-N \leq g \leq N$，Yan 在《Period. Math. Hungar.》（2021年，第82卷，第149-152页）的论文《关于表示函数之差为常数的划分结构》中证明存在一个集合 $A \subseteq \mathbb{N}$，使得对于所有 $n \geq 2N-1$，都有 $R_i(A,n) - R_i(\mathbb{N} \setminus A, n) = g$。在本文中，我们证明了如果 $g_1, g_2$ 是两个非负整数且 $g_1 \neq g_2$，那么不存在这样的集合 $A \subseteq \mathbb{N}$，使得对于所有足够大的整数 $n$，都有 $R_i(A, 2n) - R_i(\mathbb{N} \setminus A, 2n) = g_1$ 以及 $R_i(A, 2n+1) - R_i(\mathbb{N} \setminus A, 2n+1) = g_2$。

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脚注

作者得到了国家自然科学基金（项目编号：12371005 和 12101009）和安徽省自然科学基金（项目编号：2108085QA02）的支持。

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