《Mechanical Systems and Signal Processing》：Physics-informed neural networks based digital volume correlation for displacement and strain measurements
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三维变形测量中提出基于物理信息神经网络的数字体积相关方法PiNetDVC，通过连续空间坐标输入预测位移和应变场，建立应变-位移相容性约束机制，解决传统DVC的离散化限制和物理约束缺失问题，实验显示精度提升81%-95%，适用于复杂变形场景。
王竹红|周航|刘汉龙
重庆大学土木工程学院，山地土木工程安全与韧性国家重点实验室，中国重庆400045
摘要
准确测量三维变形行为对于理解材料的力学性能至关重要。然而，传统的数字体积相关（DVC）方法受到离散子体积离散化的限制，缺乏物理约束，并且计算效率低下。数据驱动的方法无法保证物理合理性，且依赖于大量密集采样数据。本研究提出了一种新型的物理信息深度学习方法用于DVC（PiNetDVC）。该方法以空间坐标为输入，通过连续函数表示同时预测位移场和应变场，克服了空间分辨率限制和数据依赖性问题。应变场直接作为网络输出，通过将网络预测的应变与由位移梯度得出的应变进行比较来确保应变-位移的兼容性。统一的损失函数结合了图像一致性约束和物理信息正则化。在六个场景中的验证表明，与传统ALDVC相比，该方法在刚体平移、单轴拉伸和剪切带变形方面的准确率分别提高了81%、83%和超过95%。对于正弦波和非均匀星形等复杂变形模式，误差保持在10^-3的数量级。在20 dB的噪声下仍能保持稳定的准确率，并且在不同架构和损失配置下表现稳健。PiNetDVC为航空航天、机械和土木工程应用中的三维变形测量提供了有效的解决方案。
引言
准确测量材料和结构中的三维（3D）变形行为是现代力学研究的核心挑战之一。这对于推进生物医学工程、航空航天和土木工程具有重要意义[1]、[2]、[3]。与传统的表面应变测量技术相比，3D内部变形测量提供了材料的真实力学响应信息。这种能力对于理解复合材料失效机制、多孔材料变形特性以及岩石和岩土力学性能非常有价值[4]、[5]、[6]、[7]。随着X射线计算机断层扫描、同步辐射成像和中子断层扫描等3D成像技术的快速发展，现在可以获得材料内部的详细体积数据。3D变形测量技术的发展已经奠定了坚实的基础[8]、[9]。数字体积相关（DVC）技术作为数字图像相关方法向三维空间的自然扩展，自Bay等人首次引入以来在实验力学领域取得了显著进展[10]。DVC基于体素灰度保持假设，即同一材料点在变形过程中保持恒定的灰度值。通过分析变形前后3D体积图像中的灰度分布变化来追踪材料点的运动轨迹，随后计算内部位移场和应变场[11]、[12]、[13]。
目前的DVC方法主要分为两类：局部相关方法和全局相关方法[11]、[14]。在局部DVC方法中，3D图像被分割成重叠的子体积。通过计算变形前后子体积之间的相关系数来确定位移向量。采用零均值归一化互相关（ZNCC）或平方差和（SSD）函数作为相关标准。通过三次样条插值结合牛顿-拉夫森迭代来实现亚体素级别的精度测量[8]、[15]。局部方法具有计算效率高、算法简单和内存需求低的优点。它们已成为大多数开源DVC软件的核心算法[16]、[17]。Smith等人[18]引入了旋转自由度以提高复杂变形的处理精度。Gates等人[19]实现了并行计算技术，以处理千体素级别的数据。然而，局部DVC方法面临技术挑战。较小的子体积提供高空间分辨率，但在均匀区域可能表现出不稳定的匹配。较大的子体积可以提高匹配可靠性，但在高应变梯度区域可能违反局部变形均匀性假设[20]。此外，应变场计算需要位移场的数值微分。在信噪比较低的情况下容易引入噪声放大问题[15]、[21]。为了解决局部方法的局限性，研究人员提出了基于有限元框架的全局DVC方法[22]。在这种方法中，整个感兴趣的区域被视为一个统一的有限元模型。通过全局优化策略同时确定所有节点的位移。自然保证了位移场的连续性和物理合理性[23]、[24]。Buljac等人[8]进一步开发了一种多尺度全局DVC算法。通过分层网格策略平衡了计算效率和测量精度。Mendoza等人[4]成功将该方法应用于复合材料损伤演化研究。然而，全局DVC方法的计算复杂度随网格密度的增加而呈二次或三次方增长。处理高分辨率3D数据时，计算成本变得非常高。网格生成策略显著影响测量结果。需要丰富的有限元分析经验来平衡效率和精度。除了算法发展之外，DVC技术已广泛应用于多个领域，包括生物力学[25]、[26]、[27]、材料损伤演化研究[2]、[28]、[29]、航空航天材料分析[30]、岩石力学[28]、[31]、[32]和岩土力学[3]。
近年来，深度学习技术的快速发展为实验力学领域带来了新的机遇。在二维数字图像相关（DIC）领域，研究人员探索了利用卷积神经网络直接从散斑图像中提取变形信息的可能性[33]、[34]、[35]。这些方法在简化参数设置和提高自动化水平方面展现了一定的潜力。然而，深度学习方法在3D DVC中的应用仍处于早期阶段。尽管如此，3D DVC中的深度学习方法仍面临数据复杂性高、缺乏标记数据以及物理约束整合不足等挑战[8]、[36]。
物理信息神经网络（PINNs）的提出为深度学习与物理建模的结合提供了一种新方法。这种方法在科学计算领域引起了广泛关注[37]、[38]、[39]。通过PINN将偏微分方程直接嵌入神经网络的损失函数中，实现了数据驱动方法和物理约束方法的有机统一。在保持深度学习灵活性的同时，确保了解决方案的物理合理性。这种方法不需要传统数值方法的复杂网格生成过程。可以自然适应任意复杂的几何形状。通过物理约束提供了强大的正则化效果。即使在数据稀疏的情况下也能获得可靠的预测结果[40]、[41]。PINN方法在流体力学[37]、[42]、[43]、[44]、固体力学[45]、[46]、[47]、岩石力学[48]、[49]和岩土工程[50]、[51]、[52]中展示了出色的性能。最近，研究人员探索了将PINN应用于实验力学的可能性。Wang等人[53]首次将PINN与二维数字图像相关技术结合，提出了一种物理约束的变形测量方法。在处理非均匀变形问题时，其性能优于传统方法。Li等人[32]进一步发展了PINN-DIC框架，通过加入光度一致性条件作为物理约束，实现了更稳定和准确的位移测量。然而，现有的PINN应用主要集中在2D平面问题上。关于3D体积变形测量的研究仍然非常有限。据我们所知，尚未有相关文献报道。
因此，开发一种结合了传统DVC的精度优势、深度学习的自动化能力和物理约束保证的新型3D变形测量方法具有重要的科学价值和实际意义。为了解决上述挑战，本研究提出了一种基于物理信息的深度学习驱动的数字体积相关方法（PiNetDVC）。该方法为3D变形测量提供了新的解决方案。本研究的主要创新和贡献包括：
•开发了一种基于坐标输入的连续函数近似方法。使用三维空间坐标作为网络输入，直接预测位移场和应变场。消除了传统数据驱动DVC方法对大量密集采样数据的依赖。
•建立了一个完整的3D应变-位移兼容性物理约束机制。六个独立的3D应变分量作为直接的网络输出。通过自动微分技术实现应变-位移兼容性的软约束。网络预测自动满足基本的连续介质力学方程。与纯数据驱动方法相比，确保了预测结果的物理合理性。
•首次构建了将PINNs与3D数字体积相关相结合的理论框架。将PINN从偏微分方程求解领域扩展到3D变形测量领域。建立了结合图像一致性约束和物理约束的统一损失函数。
本文的结构如下：第2节介绍方法论。第3节提供数值验证。第4节评估性能。第5节讨论局限性。第6节进行总结。
部分内容摘录
传统的数字体积相关（DVC）
数字图像相关（DIC）具有多种优势，包括简单的实验设备和测量程序、强大的抗干扰能力和广泛的测量适用性。它已被广泛应用于实验力学中的变形测量[12]、[54]、[55]。然而，传统的二维DIC技术只能从材料表面获取变形信息，无法检测材料内部的三维变形行为。
数值示例
在本节中，我们在生成的数字散斑体积上指定了理论位移场。根据Pan等人[56]、Yang等人[16]和Duan等人[36]的研究，共设计了六种类型的变形场。这些包括刚体平移、单轴拉伸和剪切带变形。为了评估所提出的PiNetDVC方法的有效性和性能，将PiNetDVC得到的结果与理论解和基于子体积的结果进行了比较
PiNetDVC的评估
基于对六个基准测试案例的系统性验证，PiNetDVC在各种三维变形场中表现出比传统ALDVC更高的准确性和稳定性。然而，作为一种深度学习方法，其性能取决于网络架构、损失函数和训练策略等关键参数。为了揭示参数影响机制并指导工程应用，进行了系统的参数敏感性和鲁棒性分析
讨论
PINNs在实验力学中的应用仍处于早期探索阶段。Li等人[32]和Wang等人[53]最近将PINNs应用于二维数字图像相关（DIC），本研究将这种方法扩展到三维体积相关测量。然而，每种方法都有其适用范围，PiNetDVC也不例外。处理不连续位移场的能力是一个需要澄清的重要问题。
结论
提出了一种基于物理信息的深度学习驱动的数字体积相关方法（PiNetDVC），以解决传统数字体积相关技术的基本局限性。通过构建连续的位移场表示，有效解决了传统子体积方法中的离散化限制和物理约束缺失问题。充分利用了神经网络的强大非线性拟合能力。以下是主要
CRediT作者贡献声明
王竹红：撰写——原始草稿、可视化、验证、监督、软件、资源、方法论、调查、形式分析、数据整理、概念化。周航：刘汉龙：
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本文工作的财务利益或个人关系。
致谢
本项工作得到了国家自然科学基金的支持，资助/奖励编号为52027812和52278330。
