关于实数域上适当 $\theta$-同余的数

θ-全等数扩展了经典全等数问题，Das和Saikia在实数域上提出了判定标准并遗留四个开放问题。本文解决了这些问题：移除六次方数域的技术假设，扩展分析到六次域，并明确验证了n=1,2,3,6等特殊情况下的结论。

　　

摘要

“$\theta$-同余数”的概念是对经典同余数问题的推广。一个正整数$n$被称为$\theta$-同余数，当且仅当它是一个有理三角形的面积，而这个三角形有一个角度为$\theta$，并且这个角的余弦值也是有理数。Das和Saikia在《Bull. Aust. Math. Soc.》第103卷第2期（2021年）的文章《关于实数域上的$\theta$-同余数》中，提出了判断一个数在特定实数域上是否为$\theta$-同余数的标准，并通过提出四个关于$\theta$-同余数与真正$\theta$-同余数之间关系的未解决问题来总结他们的研究。在这项工作中，我们彻底解决了这些问题：我们取消了他们研究中关于度数互质的域的技术性假设，为没有同余数限制的实数立方域提供了明确的答案，将分析扩展到了六次域，并研究了特殊情况$n=1, 2, 3$和$6$。

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