基于指数移动平均的多重分形去趋势波动分析及其在股票指数换手率中的应用

MF-EMA-DFA方法通过整合指数移动平均与多分形分解技术，显著提升金融时间序列多分形特性分析精度，首次系统揭示A股市场强持续性特征及极端波动修正效应，并建立综合分形复杂度指标。

　　

姜振坤|叶瑞松

汕头大学数学系，中国汕头515821

摘要

在本文中，我们提出了一种基于指数移动平均线的多重分形去趋势波动分析方法（MF-EMA-DFA），该方法利用指数移动平均线作为局部趋势，旨在整合并提升MFDFA和MFDMA的优势和性能。基于一系列基准模型的数值模拟表明，所提出的方法具有更高的准确性和鲁棒性，显著提高了多重分形特征的估计精度。此外，我们首次将该方法应用于12个股票指数的周转率及其增长率的多重分形分析。研究结果表明，中国A股市场的活动在大幅波动和小幅波动下都表现出较强的持续性，而标准普尔500指数在极端大幅波动期间表现出修正效应。同时，只有恒生指数、纳斯达克指数和标准普尔500指数的周转率具有内在的多重分形特性，而其他指数则显示出明显的多重分形特征。在周转率增长率序列中，只有上证综合指数和深证成分指数表现出明显的多重分形模式。最后，我们引入了一个衡量综合多重分形复杂性的指标，为信号复杂性排名、异常检测和聚类分析提供了新的工具。

引言

在复杂的自然和经济系统中，存在许多具有长程相关性的时间序列。分析它们的多重分形特性为量化这种复杂性提供了一个强大的框架。例如，彭等人引入了去趋势波动分析（DFA）来分析DNA序列中的长程幂律相关性[1]。然而，与单重分形结构不同，现实世界的时间序列主要是多重分形的。因此，多重分形去趋势波动分析（MFDFA）作为DFA的扩展而被开发出来[2]，这种方法特别适合检测非平稳时间序列中的多重分形特征，并被提出作为小波变换模极大值（WTMM）方法的替代方案[3]、[4]。此外，多重分形去趋势移动平均（MFDMA）也作为多重分形分析的另一种工具受到了广泛关注[5]。自从这些方法被引入以来，研究人员基于这两个核心范式开发了一系列改进的变体，如移动窗口中的多重分形时间加权去趋势波动分析（MF-TWDFA）[6]、非对称多重分形去趋势波动分析（A-MFDFA、DA-MFDFA）[7]、[8]以及非对称多重分形去趋势移动平均分析（A-MFDMA）[9]。此外，该框架还被扩展用于分析两个时间序列之间的相关性[10]、[11]、[12]、[13]。同时，也提出了用于直接研究多通道数据分形特性的多变量方法[14]、[15]、[16]。由于这些扩展主要基于MF-DFA和MF-DMA，因此对其优化至关重要。至今，许多研究人员仍在致力于改进和完善这些方法[17]、[18]、[19]、[20]、[21]。尽管这些方法确实解决了原始模型的一些局限性，但大多数改进都是基于MFDFA或MFDMA单独进行的。为了更好地整合这两种经典方法的优点，本研究提出了基于指数移动平均线的多重分形去趋势波动分析（MF-EMA-DFA）方法，预计该方法将表现出更优的性能。

在应用方面，分形分析工具，特别是MFDFA和MFDMA，已被广泛整合到各个领域的时间序列分析中，包括生理信号[13]、[22]、地球物理学[23]、[24]、[25]以及交通流[26]、[27]等其他领域[28]、[29]、[30]、[31]。特别是在股票市场中，这些方法已成为研究资产价格、交易量和波动性等序列多重分形特性的主流方法，为市场复杂性、效率和风险提供了关键见解[32]、[33]、[34]、[35]、[36]。然而，在现有的关于周转率多重分形分析的文献中，大多数研究关注的是股票交易量（即周转率）的多重分形性[32]、来自周转率的股票市场流动性[37]，或者它们与其他变量的相互作用[38]、[39]，而不是直接研究周转率本身。为了填补这一空白，本研究对12个主要全球股票指数的周转率进行了多重分形分析，旨在揭示这些序列的内在丰富结构并得出相关结论。

文章的其余部分组织如下：第2节介绍了指数移动平均线的起源并提出了MA-EMA-DFA方法。第3节使用大量的计算机生成数据集评估新方法的性能，并将其与传统方法进行比较。随后，第4节应用MF-EMA-DFA方法研究12个股票指数的周转率及其增长率的多重分形特性。最后，第5节总结了本研究的主要发现。

章节摘录

指数移动平均线（EMA）

指数移动平均线（EMA）起源于20世纪初，出现在统计学和金融分析的交叉点。其背后的原理源于在时间序列数据中给予最近观测值更大权重的统计需求。作为一种基本而强大的工具，EMA常用于平滑价格序列、确定趋势方向和过滤市场噪声。在各种移动平均线变体中，EMA特别受到

P模型序列

为了系统地评估MF-EMA-DFA方法在检测多重分形特征方面的性能，我们使用乘法级联中的P模型生成具有精确多重分形特性的序列[41]。随后进行了一系列数值实验，并将其与传统的MFDFA（m $=$ 2）进行比较，用于分析股票、指数、外汇和加密货币等金融时间序列，通常选择2阶多项式拟合[42]、[43]

实证研究

本节通过将所提出的MF-EMA-DFA方法应用于金融时间序列的实证分析来证明其实用性。我们研究了股票指数的周转率及其增长率（所有数据均来自Wind信息公司；详见https://www.wind.com.cn）。我们收集了Wind数据库中记录的从2000年1月1日到2025年10月31日的股票指数周转率数据。由于非交易日（如周末和节假日）以及数据限制

结论

本文提出了一种基于传统多重分形特征分析技术——MFDFA、MFDMA和指数移动平均线（EMA）的新方法，称为MF-EMA-DFA。首先，使用P模型来展示该方法在检测多个分形特征方面的有效性、鲁棒性和缩放行为。结果表明，在三个常见的时间尺度上，MF-EMA-DFA的表现优于两种传统模型。$h\left(q\right)$的误差值可以始终控制在0.03以内

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。

致谢

资助：本研究由广东省基础与应用基础研究基金会（资助编号2023A1515 030199）资助。