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非光滑齿轮系统的最终状态敏感性和噪声诱导极端事件机制研究。通过安全级别分类和多种度量方法，分析不同噪声强度下的状态敏感性，确定极端事件发生的临界噪声阈值，为齿轮系统安全提供理论依据。
张永祥|张鹏|Miguel A.F. Sanjuán
济南大学数学科学学院，中国山东省济南市250022
摘要
最终状态敏感性和极端事件是非线性科学中两个具有根本重要性的现象，它们经常在广泛的科学学科中以意想不到的方式表现出来。然而，这两种现象之间的关系却很少受到关注，特别是在非光滑齿轮系统中，目前尚未有相关报道。在这项工作中，我们重点关注最终状态敏感性的定量表征，并阐明了非光滑齿轮系统中噪声诱导极端事件的机制。我们将三种安全状态——驱动侧牙齿啮合、牙齿分离和背面牙齿接触——分类为安全吸引子、准安全吸引子和不安全吸引子。为了量化这三种啮合状态的敏感性，我们采用了不同的指标，如盆地熵、边界盆地熵和Wada指数。此前，我们使用网格方法和Nusse–Yorke方法验证了共同盆地边界的存在性，并发现位于该边界上的初始条件占据了大部分相空间。在非常小的噪声影响下，从相同初始条件开始的轨迹可能会收敛到不同的啮合状态，反映出强烈的不确定性。对于弱噪声，我们使用概率盆地和噪声敏感性指数分析了最终状态敏感性的定量和定性方面。我们计算了轨迹从每个吸引子逃逸到共同盆地边界所需的最小噪声幅度，并确定了一组倾向于将系统驱动向安全吸引子的中等噪声强度范围。当噪声强度超过一个临界阈值时，极端事件就会出现。我们通过噪声诱导的间歇性探索了它们的机制，揭示了噪声如何触发系统动力学中的罕见但显著的偏差。最后，这些结果为齿轮系统中观察到的不同啮合状态转换提供了见解，本研究提出的研究方法可以扩展到更广泛的非光滑齿轮系统类别。
引言
最终状态敏感性是非线性动力学中的一个重要概念，它代表了除了混沌系统对初始条件的敏感性之外的一种独特的不可预测性形式。它可以定义为从给定初始条件预测轨迹最终状态的难度，因为系统的渐近行为可能导致其收敛到不同的共存吸引子[1]。这种敏感性意味着，在噪声或初始条件的任何微小不确定性的影响下，具有相同初始条件的两条轨迹可能会收敛到不同的渐近状态[2]。这种不可预测性和复杂性通常源于多个最终状态的共存以及对初始条件的敏感依赖[3]。在确定性系统中，分析最终状态敏感性的最有效工具是吸引子盆地，定义为演化到特定吸引子的初始条件集合[4]。这些盆地可能具有平滑的、分形的或更复杂的边界[5]，包括多孔盆地[6]、混合盆地[7]、Wada盆地[8]、部分Wada盆地[9]或触手状盆地[10]。由于大多数非线性系统的盆地无法通过分析方法进行研究，特别是在具有非光滑动力学的系统中，几何和拓扑方法结合数值分析提供了最有效的调查手段。
齿轮系统在机械工程和其他工程领域得到广泛应用。特别是，直齿轮系统被认为是一类非光滑非线性系统，因为它们存在反向间隙、时变啮合刚度和综合传动误差。直齿轮系统最有效的工作状态是驱动侧牙齿啮合，这在大多数工作条件下占主导地位。然而，牙齿分离和背面牙齿接触也会发生，这会增加齿轮系统中的冲击和噪声[11]。三种啮合状态——无碰撞、单次碰撞和多次碰撞——对直齿轮系统的稳定性有关键影响。特别是当发生单次或多次碰撞时，稳定性会下降[12]。这些啮合状态对安全性能也有不同的影响，可以根据相位轨道和反向间隙特性将其分为三个安全级别：安全吸引子、准安全吸引子和不安全吸引子[13]。齿轮运行过程中的振动和冲击问题与各种类型的分叉密切相关[14]、[15]。多个啮合状态的共存是齿轮传动系统中潜在安全隐患的主要因素[16]。最近，引入了对应于这三个安全级别的安全盆地模型，以检查不同直齿轮系统的啮合安全性能的演变[17]、[18]。以往关于齿轮系统多稳态动力学的研究主要集中在共存吸引子的安全性、盆地大小和吸引子盆地的演变上。据我们所知，关于非光滑齿轮系统的吸引子盆地结构及其定量测量在文献中很少被提及，尤其是在与齿轮系统最终状态敏感性相关的情况下。共同盆地边界的复杂结构可能导致啮合状态对噪声或扰动的极端高敏感性。
极端事件分析的最新发展为最终状态敏感性问题重新带来了兴趣。一个有趣的问题是，极端事件本身是否本质上是不可预测的。迄今为止，很少有研究探讨这两个重要主题之间的关系。极端事件在许多科学领域引起了相当大的关注，因为它们对经济和人类生活可能产生灾难性影响[19]，出现在金融、生态学、气候学、神经科学和工程等领域[20]。尽管没有严格的定义，但一个常见的标准是将极端事件定义为超过平均值至少四个标准差的峰值[20]。不同领域的极端事件与一些重要的科学问题相关联。例如，关于海啸波的问题为海洋学中的极端事件研究开辟了新的方向[21]，这也开启了光学海啸波的新研究领域[22]。在工程学中，极端振动对机械振荡器有显著影响[23]。对于Walker环流现象，数据驱动的方法可以解释这些极端事件的原因和影响[24]。此外，极端事件出现的相关机制在科学上非常有趣且具有挑战性，以防止其发生[25]。目前，齿轮系统的一些异常振动机制仍然理解不足，这引发了这些不规则振动是否本质上是不可预测的问题。在这里，我们关注在噪声影响下极端事件发生的机制[26]、[27]。这种机制在极端事件是否发生时严重依赖于初始条件。多孔吸引子盆地表明，存在一些初始条件会导致极端事件的不可预测性[28]。然而，尚不清楚其他类型的盆地是否也导致了这种不可预测性。在目前的工作中，我们证明了具有共同边界的Wada盆地为极端事件提供了另一种不可预测性来源。我们评估了在不同噪声强度下极端事件的风险和可能性，并量化了确定性和噪声齿轮系统中的不可预测性。此外，我们确定了极端事件发生所需的最小噪声水平。一旦系统噪声强度超过一个临界阈值，三种啮合状态会不规则地切换，加剧齿轮系统内的重复碰撞。
本文的结构如下。第2节介绍了直齿轮传动系统的模型描述以及三种具有三个安全级别的啮合状态。第3节使用盆地熵和其他常用于确定性系统的工具描述了最终状态敏感性。我们通过网格方法和Nusse-Yorke方法验证了共同盆地边界的存在性。第4节通过定量和定性分析研究了噪声齿轮系统中的啮合状态敏感性，并探讨了极端事件出现的机制。第5节总结了主要结果并强调了它们的意义。
部分摘录
模型和啮合安全性能的描述
单级直齿轮系统通常被简化为两个旋转体，通过一个粘性阻尼器和一个非线性弹簧耦合，同时考虑时变刚度、齿轮反向间隙和综合误差[11]、[29]。它被广泛用于分析分叉、混沌和其他非线性动力学现象[30]、[31]。单自由度直齿轮传动系统的无量纲方程表示为
