一种重新诠释的离散断裂模型，用于描述裂隙多孔介质中的达西-布林克曼流动，并将其扩展到非协调网格上

《Advances in Water Resources》：A reinterpreted discrete fracture model for Darcy–Brinkman flow in fractured porous media and its extension on nonconforming meshes

针对裂隙多孔介质中Darcy-Brinkman流动的混合维建模问题，提出了一种兼容非匹配网格的新型Dirac-δ函数混合模型。通过数学等价性证明该模型与经典界面模型的一致性，并创新性地采用LDG/FEM混合数值方法，解决耦合系统的计算难题。验证结果表明该方法在非匹配网格下能高效精确地模拟复杂裂隙网络中的流动机理。

　　

刘景尧|郭慧|黄兆琴|杨阳

中国石油大学理学院，青岛266580，中国

摘要

本文提出了一种新的混合维度模型，用于描述裂隙多孔介质中的达西-布林克曼流动，该模型与不匹配网格具有天然兼容性。在重新诠释的离散裂隙模型（RDFM）的基础上，该模型引入了狄拉克δ函数来统一矩阵流和裂隙流。我们还严格证明了该模型在数学上与经典界面模型的等价性。在数值离散化方面，采用了局部不连续伽辽金（LDG）方法和标准伽辽金有限元方法（FEM）的混合方案。这种方法克服了LDG方法在模拟一维裂隙时的关键限制，如数值通量选择和辅助变量指定的困难，同时保持了计算效率。为了解决耦合系统，我们引入了伪时间概念，并将解向稳态推进。通过耦合示踪剂传输模拟验证了该模型的稳健性和在非匹配网格上的适用性。

引言

近年来，流体在裂隙多孔介质中的流动已成为多个关键领域的重要问题，包括石油生产、污染物传输和放射性废物储存。由于渗透率的显著差异以及裂隙与基体之间的尺度差异，准确高效地模拟这种介质中的流体流动仍然是一个主要挑战。在过去几十年中，已经开发了多种有效的方法来解决这个问题，这些方法大致可以分为两类：连续介质模型和离散裂隙模型。

连续介质模型，如单孔隙模型（Ghorayeb和Firoozabadi，2000年）和双孔隙模型（Barenblatt等人，1960年；Warren和Root，1963年；Kazemi，1969年），需要在裂隙附近进行局部网格细化以确保解的准确性。然而，这种方法计算成本较高，难以准确模拟大型裂隙。因此，离散裂隙模型（DFM）作为一种有效方法应运而生，用于捕捉单个宏观裂隙的影响。DFM采用混合维度方法，将裂隙明确表示为n维基体域中的（n-1）维界面。在这个框架中，裂隙开口作为缩放因子，应用叠加原理来耦合基体和裂隙流动，从而能够准确模拟裂隙多孔介质中的流体流动。1982年，Noorishad和Mehran首次将DFM应用于对流-扩散问题。随后，Baca等人（1984年）将DFM扩展到研究裂隙介质中的热传递和溶质传输，使用了匹配网格。随后，Kim和Deo（1999年，Kim等人，2000年）以及Karimi Karimi-Fard和Firoozabadi（2001年）将伽辽金有限元方法（FEM）与DFM结合，用于解决多相流动问题。Hoteit和Firoozabadi（2005年）、Moortgat和Firoozabadi（2013年）、Zidane和Firoozabadi（2014年）、Moortgat等人（2016年）采用混合有限元和不连续伽辽金（DG）方法解决了与DFM相关的问题。此外，还进行了大量关于界面模型的研究（Alboin等人，1999年；Martin等人，2005年；Hansbo和Hansbo，2002年）。然而，上述模型对网格划分有严格要求，必须使用匹配网格，即裂隙与网格边界对齐。

为了克服这一限制，嵌入式DFM（EDFM）（Lee等人，2001年；Li和Lee，2008年）采用了不匹配网格策略，将裂隙嵌入到结构化背景网格中以高效捕捉复杂几何形状。然而，在这种方法中，计算基体网格块与嵌入裂隙片段之间的平均法向距离来估计它们之间的流体传输以及交叉裂隙之间的质量传输。因此，与DFM相比，这种方法也会增加计算成本。此外，扩展有限元DFM（XFEM-DFM）（Fumagalli和Scotti，2014年；Huang等人，2011年；Salimzadeh和Khalili，2015年）通过丰富被裂隙相交元素的功能空间来处理网格限制，这显著增加了自由度和计算成本。2020年，Xu和Yang（Xu和Yang，2020年）引入了重新诠释的DFM（RDFM），通过狄拉克δ函数构建混合维度渗透率张量来模拟裂隙。随后，Xu和Yang（Xu和Yang，2023年）证明了RDFM在连续性条件方面与界面模型在数学上等价。后来，Xu等人（2023年）进一步发展了RDFM，增强了其模拟含有裂隙和屏障的多孔介质中流动的能力。随后，Guo等人（2021年）、Fu和Yang（2022年）、Fu和Yang（2023年）设计了几种数值方法来求解RDFM。此外，Wu等人（2023年）将RDFM扩展到达西-福尔希海默（Darcy–Forchheimer）框架，其中2D基体受达西方程控制，而1D裂隙区域遵循福尔希海默定律。该模型通过引入狄拉克δ函数，建立了整个多孔介质中的总速度与裂隙中流体速度之间的关系。

RDFM及其扩展没有考虑流体通过高渗透率裂隙时的粘性效应。在这些区域，粘性力起着重要作用，使得布林克曼模型更为适用。布林克曼模型由Brinkman在1947年提出（Brinkman，1949年），该模型包含一个扩散项，用于捕捉粘性力对多孔介质中流体流动的影响（Fumagalli和Scotti，2013年；Chen等人，2018年；Hosseini等人，2019年）。其广泛的适用性在于其极限版本包括达西系统和斯托克斯系统，适用于地质物理学、水文地质学和生物医学工程等多个领域。2011年，Lesinigo等人（2011年）开发了一个耦合的达西-布林克曼模型，其中达西方程控制n维基体中的流体流动，而布林克曼方程描述了作为n-1维界面嵌入多孔介质中的高渗透率裂隙中的流动。Chen等人（2022年）为这种混合维度模型提出了一种双网格解耦策略，使用近似界面条件在粗网格上解耦方程，然后在细网格上求解解耦的达西和布林克曼问题。值得注意的是，这两种方法都依赖于显式的界面表示，这限制了它们在不匹配网格上的适用性，并限制了模拟复杂裂隙网络的灵活性。2023年，Liu等人（2023年）、Wang等人（2023年）通过开发有限体积和有限差分方案，推进了可压缩和弱可压缩达西-布林克曼流动在裂隙多孔介质中的混合维度建模。然而，这两种方法都需要在裂隙区域增加额外的节点，从而增加了计算成本。

在这项工作中，我们扩展了RDFM，开发了一种新的模型来描述裂隙域内的达西-布林克曼流动。据我们所知，这是第一个描述在不匹配网格上达西-布林克曼问题的偏微分方程，并且可以通过多种数值方法求解。我们的工作主要集中在裂隙区域定义的布林克曼方程的降维上，通过使用总速度与裂隙速度之间的关系，严格制定了混合维度达西-布林克曼模型。为了验证新建立模型的准确性和可靠性，我们证明了它在数学上与Lesinigo等人（2011年）提出的仅需要匹配网格的界面模型等价。界面模型中的质量交换项对于描述裂隙与基体之间的流体传输至关重要，从而确保了准确的耦合和流动分布。值得注意的是，混合维度模型本质上包含了这一项，这在等价性证明过程中得到了确认。这也是所提模型可以在不匹配网格上求解的原因。

对于在新建立的模型在非匹配网格上的数值离散化，我们采用了局部不连续伽辽金（LDG）方法。LDG方法通过使用中间变量将高阶偏微分方程转换为一系列一阶方程，从而能够稳健地处理狄拉克δ函数项，同时确保局部质量守恒。需要注意的是，1D裂隙的布林克曼方程包含二阶导数，使用LDG方法离散其线积分需要在积分后使用额外的辅助变量和精心设计的数值通量。这些要求大大增加了模型的复杂性和实现难度。因此，使用FEM离散该方程，可以在保持准确性的同时降低计算复杂性。由于其内部变量之间的强耦合，直接求解该方程并不容易。为了解决这个问题，我们在流动方程中添加了压力时间导数项，将模拟推进到稳态（即p→0），从而获得数值解。

本文的结构如下。第2节简要描述了具有裂隙的多孔介质中的等维模型，并回顾了Wu等人（2023年）从RDFM导出的速度关系。然后我们构建了一个混合达西-布林克曼模型，并详细推导了其与界面模型的等价性。第3节介绍了处理耦合模型的方法，并开发了一套使用LDG方法和FEM的数值算法。第4节通过多个数值实验验证了模型和算法的有效性，包括一个传输问题的应用案例。最后，本文以总结和展望结束。

部分摘录

混合维度达西-布林克曼模型

在本节中，使用达西定律描述基体中的较慢流体流动，而使用布林克曼定律描述裂隙中的较快流动。受到RDFM的启发，我们提出了一种新的混合维度达西-布林克曼模型。随后，我们证明了这种新提出的模型与传统界面模型之间的数学等价性。

数值算法

本节考虑了由方程（2.17）–（2.19）定义的耦合模型。前两个方程使用LDG方法离散化。为了减少计算难度和成本，使用FEM求解方程（2.19）。此外，我们还描述了一个用于耦合系统的时间步进求解器。

数值实验

在本节中，我们通过数值精度测试评估了所提出的达西-布林克曼模型的性能，并进行了五个几何复杂性逐渐增加的数值实验。在示例1中，我们提出了一个收敛性测试以证明所提出数值方法的有效性。示例2和示例3相对简单，每个示例都包含一个裂隙，旨在验证模型在各种边界条件下的有效性。一个包含交叉裂隙的情景是

结论

本研究开发了一个基于狄拉克δ函数的混合达西-布林克曼框架，用于描述通过裂隙多孔介质的流动。然后验证了该模型与达西-布林克曼界面模型之间的等价性。此外，在数值求解过程中，将有限元空间与LDG方法结合使用，显著降低了计算成本并提高了效率。利用RDFM，该模型可以在不匹配网格上高效实现

CRediT作者贡献声明

刘景尧：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，软件，方法论，调查，形式分析。郭慧：撰写 – 审稿与编辑，监督，项目管理，方法论，资金获取，概念化。黄兆琴：撰写 – 审稿与编辑，验证，方法论。杨阳：撰写 – 审稿与编辑，监督，项目管理，方法论，资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。