在非对称的双星矮星系系统中，粒子NHIM分岔情景的研究

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：The NHIM bifurcation scenario of a particle in an asymmetric binary system of dwarf galaxies

本研究分析非对称双矮星系统中测试粒子的三维哈密顿系统，探讨正常超临界不变流形（NHIMs）的分岔行为及其协调现象。通过庞加莱映射和延迟时间函数发现，当扰动参数增大时，NHIMs失去超临界性，导致KAM tori破裂并产生瞬态混沌。同时，不同NHIMs的分岔具有协调性，揭示了瞬态动力学对全局结构的影响。

　　

克里斯托夫·荣格（Christof Jung）|弗朗西斯科·冈萨雷斯·蒙托亚（Francisco Gonzalez Montoya）

墨西哥国立自治大学物理科学研究所，Av. Universidad s/n, Col. Chamilpa, Cuernavaca, Morelos, CP 62210, 墨西哥

摘要

我们研究了一个三自由度哈密顿系统的分岔情景，该系统基于拉格朗日受限的三体问题：一个测试粒子在一对相互作用矮星系的引力场中运动。这个系统的相空间有3个基本的正规双曲不变流形（NHIMs），它们的不变稳定和不稳定流形形成了同宿/异宿缠结。随着扰动参数的增加，NHIMs开始失去正规双曲性，其构成的KAM环面破裂，在它们周围产生瞬态混沌动力学。我们还观察到这些NHIMs的分岔情景之间存在某种协调性。我们使用庞加莱映射和延迟时间函数来分析这一现象。

引言

在混沌动力系统中，相空间中的几何结构（如不稳定不变子集）在很大程度上决定了全局动力学，特别是混沌的产生。最简单的例子是二维映射中的不稳定不动点，其稳定和不稳定流形构成了混沌不变集，可以通过最重要的不稳定不动点的稳定和不稳定流形的交集来形象地表示为马蹄形构造。在更高维度的映射中，二维映射中不稳定不动点的作用由余维数为2的正规双曲不变流形（简称NHIMs）所取代；有关NHIMs的更多信息，请参见[1]。这些不变子集具有余维数为1的稳定和不稳定流形，它们可以在相空间中形成墙壁、通道和管状结构，从而指导全局动力学。这是二维映射中双曲不动点的稳定和不稳定流形作用的直接推广。因此，NHIMs的参数依赖性极大地影响了整个动力学的参数依赖性。因此，我们有必要深入了解NHIMs在参数变化下的典型分岔情景。在自治哈密顿系统中，最重要的参数通常是能量E，即动力学的生成函数H的守恒数值。

哈密顿系统具有一个有效势能；关于如何为给定的哈密顿函数构造这个有效势能的通用方法，请参见[2]、[3]、[4]。通常，最重要的余维数为2的NHIMs与这个有效势能的指数为1的鞍点相关联。然后，这些NHIMs作为势能鞍点的过渡状态，引导流体通过这些鞍点[5]、[6]、[7]。由于常微分方程解的唯一性，在相空间中，两条不同的轨迹不能相交。因此，稳定/不稳定流形的段形成了引导轨迹通过鞍点有效势能的圆柱体。这一性质表明了NHIMs对动力学全局特性的重要性。

对于三自由度（3-dof）的哈密顿系统，对余维数为2的NHIMs的典型分岔情景的理解还远未完善。目前只有数学定理表明，只要正规不稳定性大于切向不稳定性，NHIMs在扰动下是持续的。关于各种证明版本，请参见[8]、[9]、[1]的第3章以及[10]的第3章。最近的计算机辅助算法用于证明NHIMs的存在性和持续性，请参见[11]和[12]。许多数值例子表明，在切向不稳定性超过正规不稳定性的相空间区域，NHIMs会破裂。在当前情况下，通过数值方法研究NHIMs的分岔情景以获得更多关于典型和频繁分岔情景的信息是有价值的。

在文献中，有一些关于不变曲面失去正规双曲性的研究[13]、[14]、[15]、[16]。这些研究使用了二维系统或等效于降维到二维的简化模型。这些工作主要关注失去正规双曲性对过渡态理论和通过鞍点流动速率的影响。然而，关于NHIMs分裂成（部分低维的）不变碎片的文献并不多，这正是我们将在本文中深入探讨的主题。关于NHIMs在参数变化下的定性变化的进一步观察，请参见[17]、[18]、[19]、[20]。

相空间中维度为2或更高的NHIMs具有内部动力学，可以通过绘制庞加莱映射来图形化展示。关于使用此类庞加莱映射的早期例子，请参见[13]中的图1。这与鞍点中心流形的庞加莱映射类似，例如参见[21]中的图6。对于总维度为4的庞加莱映射，余维数为2的NHIMs的庞加莱映射本身是二维的，可以通过将其投影到规范平面上来方便地绘制。作为系统参数函数的这种投影庞加莱映射是展示NHIMs分岔情景的简单方法。在[22]和附录中详细解释了跟踪NHIMs在参数变化下的数值方法以及绘制投影庞加莱映射的方法。

在各种例子中，我们观察到在具有多个基本NHIMs的系统中，这些NHIMs的分岔情景是协调的，并且某个特定NHIM的重要定性变化发生在其他一些NHIM也经历重要变化的小参数区间内。其中一个例子是测试粒子在两个球形矮星系旋转对称系统的有效势能中的运动模型[23]。该系统有三个共线的拉格朗日点，以及与这些有效势能鞍点相关的余维数为2的NHIMs。两个外侧的NHIMs是对称相关的，而中间的NHIM在定性上与外侧的NHIMs不同。尽管如此，中间NHIM的分岔情景与两个外侧NHIM的分岔情景是协调的。现在读者可能会问，整个系统的离散左右对称性是否负责这种分岔情景的协调。受这个问题的启发，我们在本文中研究了[23]中模型的非对称推广。在本文中，我们将两个球形矮星系的质量设置为不同的值，与[23]中的质量相等形成对比。

在[24]中观察到了NHIMs分岔情景中协调效应的另一个例子。该系统是一个测试粒子在旋转的双棒状星系中的运动。该模型有四个与有效势能的指数为1的鞍点相关的余维数为2的NHIMs。这四个NHIMs分为两组，每组内的两个NHIMs是对称相关的。尽管如此，我们发现所有四个NHIMs的情景是协调的，即使是在不同组之间也是如此。

在处理这些先前的系统时，我们没有观察到部分破裂的NHIMs的瞬态外部部分的任何重要作用。同时，已经观察到两个有趣的瞬态效应案例，参见[25]和[26]。有趣的是，在本文研究的两个矮星系的不对称情况下，破裂NHIMs的瞬态外部部分影响了分岔情景的协调性，从而影响了混沌的产生和发展。这是之前研究中未注意到的新现象。我们认为这是本文研究的一个显著新结果。有关瞬态动力学，特别是瞬态混沌的更多信息，请参阅教科书[27]。

在第2节中，我们介绍了非对称模型并解释了其有效势能的重要极值点。第3节展示了3个NHIMs的分岔情景以及与这些NHIMs相关的重要周期轨道的分岔情景。第4节更详细地探讨了混沌的产生以及NHIMs之间的异宿连接，包括瞬态效应在动力学中的作用。第5节我们使用延迟时间作为指示函数来获取有关相空间结构的更多信息，第6节我们得出结论并给出最终评论。

模型

在[23]中，已经给出了模型的一般质量值m₁和m₂的函数形式。因此，我们在这里仅简要重复模型的一些最重要属性。两个星系的总质量为$m_t=m_1+m_2$。两个星系中心之间的距离为R。我们在一个共旋框架中使用笛卡尔坐标x, y, z来描述动力学，其中原点是整个系统的质心。

最重要周期轨道的分岔情景

从现在开始，我们使用哈密顿量的守恒数值——雅可比常数E_J作为系统的扰动参数，并研究相空间作为E_J函数的变化。从指数为1的鞍点和V_eff的相对最小值中生长出系统最重要的周期轨道，这些轨道也是NHIMs内最重要的周期轨道。因此，详细了解这些周期轨道的分岔情景非常有帮助。

异宿连接和大尺度混沌的出现

现在我们将第3节中看到的NHIM分岔情景与某些特别有趣的轨迹类别及其属性联系起来，即3个NHIMs之间的异宿轨迹。我们针对雅可比常数值$E_J=?0.043$$?0.042$$?0.04$，即在这个雅可比常数范围内发生了整个分岔情景中最有趣的事件。为了便于图形化展示，我们首先从水平轨迹开始。

使用延迟时间技术可视化相空间

为了补充我们对系统相空间的研究，随着扰动参数的增长，我们将使用基于延迟时间的相空间结构指示器来可视化相空间中的不变对象。相空间指示函数是分析和洞察多自由度系统动力学的有用工具。有关该主题的综述和几个例子可以在参考文献[32]、[33]、[34]中找到。此外，还有最近关于相空间的研究

结论和最终评论

本文分析的系统是一个具有3个非对称相关NHIMs的哈密顿动力学的有启发性的例子，以及NHIMs分岔情景协调效应的例子。本文的一个新特点是包含了NHIMs破裂附近产生的瞬态行为对全局情景形成的影响。我们看到，围绕NHIMs的瞬态混沌轨迹也对全局动力学做出了重要贡献。

CRediT作者贡献声明

克里斯托夫·荣格（Christof Jung）：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，研究，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。弗朗西斯科·冈萨雷斯·蒙托亚（Francisco Gonzalez Montoya）：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，研究，形式分析，数据管理，概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。