导航数据中的自然平行移动与关联几何结构：从有限维和乐群到新几何框架

《Differential Geometry and its Applications》：Natural parallel translation and connection associated to navigation data

本文聚焦于几何学中的导航数据，即一个黎曼度量与一个向量场构成的二元组(h, W)。作者的核心工作是引入了一种基于黎曼平行移动的自然平行移动结构。这项研究具有重要的几何学意义：它解决了在Finsler几何（尤其是Randers型芬斯勒度量）中，自然平行移动的和乐群通常是无限维的难题。本文证明了，在导航数据构成的几何背景下，所定义的自然平行移动不仅具有齐次性，而且其和乐群是有限维的，这为研究和乐群结构提供了新的、更易于处理的几何框架，并有助于深入理解芬斯勒几何中的仿射结构。

　　

与导航数据关联的自然平行移动

定义 3.1

设c是一条从点p到点q的曲线，并假设V_p^°是一个关于导航数据(h, W)构成的Randers范数函数(2.12)的单位向量。我们将与导航数据(h, W)关联的V_p^°沿c的自然平行移动定义为 P(V_p^°) := P_Riemann(V_p^°- W_p) + W_q，其中 P_Riemann是沿c的黎曼平行移动。我们通过使用齐次性质将此定义扩展到任何非零向量： P(V_p) := F(V_p)·P( (1/F(V_p)) V_p)。为了简化符号，我们将...

与自然平行移动相关的几何量

如第2节所述，联络、协变微分和分裂(2.1)是与平行移动相关的几何结构。在本节中，我们将推导与导航数据(h, W)相关的自然平行移动对应的这些几何对象。

自平行曲线，自然流 (Natural Spray)

令(h, W)为流形M上的导航数据。曲线c: I → M是关于自然平行移动的自平行曲线，当且仅当其速度向量场?沿着c是关于定义3.1中引入的平行移动的平行向量场。使用第4.2节中引入的协变导数?，我们得到c是一条自平行曲线当且仅当 ?_?? = 0。根据用黎曼度量h的Levi-Civita联络?^R和向量场W表达的?的表达式(4.19)，我们得到c...

关于度量校正过程的一个注记

度量校正过程的目的是使一个联络适应于度量环境。这个问题与芬斯勒几何的发展史密切相关，其首要挑战是发展一个合适的联络概念。过去已经并直到今日仍在许多特殊情况下进行了许多解决问题的尝试（例如，广义Berwald空间理论）。用松本诚(M. Matsumoto)的话来说：“存在一个最适合特定芬斯勒空间的最合适的芬斯勒联络。”