黎曼度规下的Stiefel-Whitney类显式表示：从组合构造到几何实现

《Differential Geometry and its Applications》：Riemannian metric representatives of the Stiefel-Whitney classes

这篇文章深入探讨了如何为光滑闭流形M的Stiefel-Whitney示性类wi(M)构造具体的黎曼度规表示。作者在给定M的一个光滑三角剖分K和一个任意黎曼度量g后，利用Whitney的经典结果（即示性类可由对偶复形上取值为1（模2）的上链表示），为所有Stiefel-Whitney类给出了明确的微分形式代表元。特别是，w1(M)的代表元由度量张量行列式det gij决定；偶维类w2k(M)的代表元与局部定义的2k维全测地子流形的Chern-Gauss-Bonnet密度形式相关；而奇维类w2k+1(M)的代表元则由局部定义的(2k+1)维全测地有边子流形的边界球面的超曲面面积形式给出。文章还证明了在埃尔米特（Hermitian）情形下，所得w2k(M)的度规代表元正是第k个陈类ck(M,J)模2约化的结果。

　　

Stiefel-Whitney类

对于闭流形M的一个光滑三角剖分K，它足以指定M的所有Stiefel-Whitney类。因为，如果K'是K的重心细分，而(K')*是对偶于K'的胞腔复形，那么w_i(M)就可以由那个给每个对偶i-胞腔赋值为1（模2）的上链来表示。这个异常优美（且简单）的上同调类描述由Whitney在[13]中宣布，但他的证明从未发表。1970年，Cheeger给出了此事实的唯一已知书面证明……

光滑三角剖分、重心细分和对偶胞腔复形：类w₀(M)

我们记M = Mⁿ为一个光滑闭n维流形，K是M的一个局部有限、光滑的单纯复形三角剖分，因此K的底层多面体就是M。我们快速回顾一下重心细分K'和对偶胞腔复形(K')*的概念，详情可参考[9]。

重心细分K'是任意三角剖分K的一个自然定向单纯复形。K'的单形都具有σ_i1σ_i2... σ_ik的形式，其中σ_i1, ..., σ_ik是K的单形，且满足σ_i1? σ_i2? ... ? σ_ik，而σ_ij是单形σ_ij的重心。

光滑三角剖分的黎曼流形：类w₁(M), w₂(M)和w₃(M)

我们赋予这个被三角剖分的流形M一个任意的黎曼度量g。度量g的黎曼曲率张量是R^g(X, Y)Z = (?^g_X?^g_Y- ?^g_Y?^g_X- ?^g_[X,Y])Z，其中?^g是该度量的Levi-Civita联络。它通常表示为(0,4)型张量g(R^g(X, Y)Z, W)。度量g的Ricci张量r_g(X, Y)是映射L → R^g(L, X)Y的迹。数量曲率s_g是r_g的度量迹。如果(M, J, g)是Hermitian（埃尔米特）的，则联络?^g的曲率2-形式Ω^g(X, Y)是映射L → R^g(L, JX)Y的迹。

给定任意...

高阶Stiefel-Whitney类的度量表示

第3.2节中关于w₂(M)的论证可以推广，以生成偶数维类w_2k(M)（k>1）的代表元。第3.3节中关于w₃(M)的论证可以推广，以生成奇数维类w_2k+1(M)（k>1）的代表元。我们在此证明这些断言。

为方便起见，我们用ω_d表示欧几里得空间R^d+1中单位d维球面S^d的体积。