一种新的“弱选择原则”

《The Journal of Symbolic Logic》：A NEW WEAK CHOICE PRINCIPLE

对于每个自然数n，定义弱选择公理nRC_fin：任何无限集合x存在无限子集y及选择函数f，能从y的任意有限子集中选取至少n个元素。通过构建基于Fra?ssé极限的原子集合生成的排列模型，研究nRC_fin与已知的弱选择公理RC_m（m∈N）之间的逻辑关系，并证明kC_fin^-（k≥2）的更强形式结论，揭示两者在无限选择原则中的层次关系。

　　

摘要

对于每一个自然数 n，我们引入了一个新的弱选择原理 $\mathrm {nRC_{fin}}$

对于任意无限集合 x，存在一个无限子集 $y\subseteq x$，以及一个选择函数 f，它可以从每个包含至少 n 个元素的有限子集 $z\subseteq y$ 中选择一个 n 元子集。

通过构建基于 Fra?ssé 极限得到的原子集合的新排列模型，我们将研究 $\mathrm {nRC_{fin}}$ 与弱选择原理 $\mathrm {RC_m}$ 之间的关系（这些原理已在 [3] 和 [6] 中研究过）：

对于任意无限集合 x，存在一个无限子集 $y\subseteq x$，以及一个选择函数 f，它可以对 y 的所有 m 元子集进行选择。

此外，当我们研究 $\mathrm {nRC_{fin}}$ 与 $\mathrm {kC_{fin}^-}$ 之间的关系时，我们证明了 [6] 中结果的更强类似物。后者定义如下：

对于任意无限集合族 $\mathcal {F}$（由基数大于 k 的有限集合组成），存在一个无限子族 $\mathcal {A}\subseteq \mathcal {F}$，以及一个选择函数 f，它可以从每个 $A\in \mathcal {A}$ 中选择一个 k 元子集。

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