一种适用于深度衰减的水力传导率场中稳定地下水流动的新型放电势

《Advances in Water Resources》：A novel discharge potential for steady groundwater flow in depth-decaying hydraulic conductivity fields

地下水流动中采用倒数线性深度函数表征液压传导率随深度衰减，相比传统指数模型具有更强的参数不确定性鲁棒性。通过Dupuit-Forchheimer假设推导出基于Lambert W函数的闭合解析解，并验证其在圆形补给盆地、泵井受区域流影响及楔形含水层等典型水文地质条件下的适用性，发现衰减系数对含水层几何形态、停滞点分布及井流强度具有显著影响。

　　

阿里·马赫达维

伊朗阿拉克大学土木工程系

摘要

在许多非均质地层中，由于压实作用、胶结作用或岩性变化，水力传导性会随深度增加而降低。本研究采用了一种简单而灵活的倒数线性深度函数来表示这种变化，该函数通过一个衰减系数进行参数化，该系数控制着从地表到含水层底部的传导性下降速率。在杜普伊-福尔希海默（Dupuit–Forchheimer）近似下，对于非均质无限制含水层的稳态流动，我们推导出了相应的流量势函数，从而建立了水头与空间坐标之间的封闭形式关系，该关系通过兰伯特W函数（Lambert W function）表示。这种转换将原始的非线性基于水头的方程转化为线性拉普拉斯（linear Laplace）公式，可以使用标准的解析或数值方法求解。我们表明，与传统指数模型相比，倒数线性公式对衰减系数的不确定性具有更低的敏感性，从而提高了对参数不确定性的鲁棒性。研究了衰减系数对三种代表性水文地质条件下的流动拓扑结构的影响：圆形补给盆地、处于均匀区域流动下的抽水井以及受到边界水流影响的楔形含水层。对于来自补给盆地的纯径向流动，解析解与皮卡德迭代法（Picard-iteration method）得到的数值解非常吻合。分析表明，补给区几何形状、停滞点的位置以及井的流量都可能对传导性衰减系数非常敏感。

引言

在许多科学和工程领域中，流体饱和多孔介质中的孔隙流体流动通常与介质变形、热传递、质量传输和化学反应耦合在一起（Zhao等人，2008年，2009年；Zhao，2014年）。然而，为了简化理论分析，本研究仅考虑稳态孔隙流体流动，以便能够推导出解析或半解析解（Strack，2017年）。在水饱和多孔介质中，水力传导性被广泛认为是水文学中最基本的参数之一，它是与井水力学、含水层性能和地下水流动系统相关分析的基础。在许多水文地质研究中，水力传导性通常被假设为在整个含水层中均匀分布（Luo和Illman，2016年；Mahdavi等人，2022年；Mahdavi，2024年）。然而，这种假设忽略了水力传导性对孔隙度变化的高度敏感性，即使这些变化非常微妙（Asfahani，2017年；Zhuang等人，2022年）。由于构造历史、压实作用、胶结作用等众多地质因素，孔隙度本身通常会随深度增加而减小，从而导致水力传导性的系统性深度依赖性非均质性。这种垂直结构在沉积环境和结晶环境中都有观察到，并对地下水循环和溶质传输起着主导作用（Rumynin等人，2020年）。

在数学建模框架内，垂直水力传导性剖面通常由解析函数表示，这些函数能够捕捉其随深度的变化。这些函数可以是离散形式的，例如由具有不同传导性值的明显层组成的分层含水层；也可以是连续形式的，例如在传导性随指数或幂律关系减小的巨大岩层中。

在离散建模垂直非均质性的背景下，含水层被划分为一系列均匀层，每层都被赋予一个恒定的水力传导性（Zhang等人，2022年；Ma等人，2023年；Das等人，2026年）。尽管概念上很简单，但这种离散分层模型引入了实际和分析上的困难。水头和垂直通量必须在每个层界面满足连续性条件，这产生了一组复杂的耦合边界约束，使得封闭形式解的推导变得复杂。随着层数的增加以更好地近似连续变化的传导性，这些界面条件不断累积，使得解变得越来越繁琐，往往掩盖了物理洞察力。因此，虽然离散化可以近似非均质性，但执行众多界面条件的负担限制了其在需要可行解析解的问题中的适用性。

连续模型避免了这种不连续性，其中大多数模型将水力传导性指定为深度的指数函数，这种表述不仅提供了数学上的便利性，而且与对数正态分布的传导性假设自然一致。指数表示提供了一种平滑且可解析的方式来捕捉垂直非均质性，避免了离散分层方法中固有的突变。观察到的水力传导性随深度的衰减可能反映了上覆岩层压力的影响，这种压力逐渐减小了孔隙大小和裂隙开口。这种压实效应降低了流体通过地下的能力，从而降低了含水层的整体渗透性。指数模型的潜在应用范围很广，包括排水盆地内的嵌套流动网络（Wang等人，2011年）；受地形控制的自流井（Wang等人，2015年）；由区域补给驱动的二维地下水运动在各向异性渗透率的含水层中（Rumynin等人，2019年）；渗漏含水层系统中的瞬态井水力学和地下水预算（Zhuang等人，2022年）；非饱和区和饱和区对地潮的动态响应（Wang等人，2024年）；以及含水层边界处渗透通道的排水及其相关传输时间（Hayek，2024年）。

大量的理论和数值研究表明，流体饱和多孔介质中的物理和化学溶解反应会导致孔隙度的显著变化，从而显著改变孔隙流体流动通道和介质的渗透性（Zhao等人，2013年）。研究还清楚地表明，孔隙度和渗透性的变化受到矿物溶解比率、溶质扩散、介质可压缩性、介质各向异性、非等温影响、径向发散流动和介质半透性特征等因素的强烈影响（Zhao，2014年；Liu等人，2025年）。更重要的是，孔隙流体流动通道和渗透性的演变与流体饱和多孔介质中的孔隙度变化紧密相关。因此，应考虑流体饱和多孔介质中的物理和化学溶解反应以反映这一现实，但本研究忽略了这一点。这可以被认为是本研究的主要局限性。

本研究采用了一种倒数线性表示方法，该方法能够捕捉随深度逐渐变化的水力传导性，同时与传统指数模型相比，对参数不确定性的敏感性显著降低。首先，推导出了与倒数线性变化相关的传导率，其深度积分得到了一个新的流量势表达式，用于描述随深度衰减的水力传导性场。据作者所知，这是第一个能够在线性拉普拉斯框架内处理此类系统的公式，而传统指数模型不具备这种能力。一旦为给定的水文地质条件获得了流量势场，就可以将其转换为兰伯特W函数表示的相应水头分布。一组代表性测试案例展示了衰减系数如何影响不同的流动特性。

数学模型

数学模型的发展基于以下假设：（i）在水平不可渗透基底上的各向同性、水平均匀但垂直非均质的无限制含水层中，流动是稳态的，水力传导性随深度平滑变化且与水平位置无关；（ii）适用杜普伊-福尔希海默近似，意味着主要是水平流动，垂直水力梯度可以忽略不计；（iii）流体是

测试案例

本研究考虑了三个案例，以展示所提出的流量势函数在代表性水文地质条件下的适用性和分析灵活性。第一个案例是一个圆形补给盆地，代表了一个径向对称的流动场，用作验证公式的基准配置。第二个案例是一个嵌入在均匀区域流动中的抽水井，引入了方向不对称性，并说明了

与指数模型的不确定性传播比较

对（1）中的倒数线性分布和指数模型（Hayek，2024年），k(z)?=?k_De^α(z???D)进行了比较，重点关注α的不确定性如何在每个模型中传播。在此分析中，α被视为一个随机变量，其特征是平均值$\bar{\alpha }$和方差Var(α)，变异系数定义为$C_{\alpha }=\sqrt{\text{Var}\left(\alpha \right)}/\bar{\alpha }$。虽然方差用与α²相同的单位表示绝对不确定性，但参数C_α反映了相对不确定性

总结与结论

本文为受杜普伊-福尔希海默近似控制的二维稳态地下水流动开发了一种新的势函数，该流动适用于具有随深度衰减或空间变化水力传导性的流体饱和多孔介质。该公式通过将水力传导性的倒数线性变化直接纳入势函数中，扩展了经典的势函数理论，从而能够对非均质流场进行解析表征

术语表

Ck	k的变异系数（-）
Cα	α的变异系数（-）
D	含水层总厚度（L）
F	传递系数（-）
h	水头（L）
k	水力传导性（LT?1）
kD	参考水力传导性（LT?1）
N	补给率（LT?1）
Q0	单向环境流强度（L2T?1）
QP	抽水流量（L3T?1）
QW	井筒流量（L3T?1）
Qr, Qθ	流量向量的径向和角向分量（L2T?1）
R	井的影响半径（L）
Rb	补给盆地半径（L）
RL	补给影响半径

CRediT作者贡献声明

阿里·马赫达维：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，方法论，概念化。