具有全局中心的广义Duffing振荡器的全球动力学

《Applied Mathematics and Computation》：Global dynamics of generalized Duffing oscillators with global centers

广义达夫林振子的全局相图分类及保守极限下的同/异宿循环结构分析，采用准同质爆破技术突破传统分情况处理限制，确定线性阻尼消失时全局中心的存在条件及参数范围。

　　

Gabriel Rondón|Nasrin Sadri

数学系，精确科学研究所（ICEx），米纳斯吉拉斯联邦大学（UFMG），Presidente Ant?nio Carlos大街6627号，大学城 - Pampulha，贝洛奥里藏特，31270-901，米纳斯吉拉斯州，巴西

摘要

本研究对广义Duffing振荡器进行了全面分析：

$\dot{x}=y,\dot{y}=?\alpha y??x^m?\sigma x,$

其中 $\alpha ,\sigma \in R$ ，且 ? ≠ 0，m ≥ 1。我们建立了所有 m ≥ 1 以及所有实数参数值的相位图的完整拓扑分类。一个关键发现是，当线性阻尼消失时（$\alpha =0$），存在全局中心，并为线性（$m=1$）和非线性（m ≥ 1）情况给出了明确的条件。为了实现这一分类，我们采用了适用于任意阶数 m 的拟齐次爆破技术，克服了传统方向爆破方法通常需要逐个案例分析的局限性。在保守极限 $\alpha =0$ 下，我们完全解决了中心-焦点问题，并描述了组织相空间的同宿循环和异宿循环的丰富结构。这些结果为理解Duffing型振荡器的全局动力学提供了一个统一的框架，并确定了纯周期性、保守行为出现的精确参数范围。

章节摘录

引言与动机

Duffing振荡器及其广义形式是非线性动力系统理论中的典型模型，在物理学、工程学和生物科学领域有广泛的应用。这类系统的动力学由一类具有多项式结构的常微分方程描述： $\dot{x}=y,\dot{y}=?\alpha y??x^m?\sigma x,$

预备知识

本节介绍了证明定理A、B和C所需的基本结果。

定理A的证明

本节致力于定理A的证明。由于证明篇幅较长，我们将其分为两个小节。第3.1节专门分析广义Duffing振荡器的局部动力学，而第3.2节则研究系统的整体动力学、扇区结构和分离线。

定理B和C的证明

这里提供了定理B和C的证明，首先给出以下辅助结果。

命题7

假设 m ≥ 1。系统 (1.1) 在原点处存在中心当且仅当 $\alpha =0$ 且 σ ≥ 0。

证明

推论3.1表明，在条件 $\alpha =0$ 和 σ ≥ 0 下，系统 (1.1) 在原点的雅可比矩阵具有纯虚特征值。

通过应用线性变换 $(x,y?(u,?\sqrt{\sigma }v)$，广义Duffing振荡器 (1.1) 在 $\alpha =0$ 时呈现出其Jordan标准形式： $\begin{array}{c}\dot{u}=?\sqrt{\sigma }\end{array}$