融合解耦动力学建模与双模变维滑模控制在空间机器人中的应用

《Applied Mathematical Modelling》：Fusion-Decoupled Dynamics Modelling and Dual-Mode Variable-Dimension Sliding Mode Control for Space Robots

空间机器人动力学建模与双模滑模控制策略。本文提出GR-GRIDDF模型，融合牛顿-欧拉与拉格朗日方法，实现系统级动态解耦和物理被动性，实验显示误差低于10^-14，并构建分层建模框架。该模型支持双模变量维度滑模控制，平衡稳定、鲁棒与控制效率，为空间机器人自主任务提供可靠模型基础。

　　

李峰|张伟|李少倩|高胜|韩一飞|李忠

中国科学院沈阳自动化研究所机器人与智能系统国家重点实验室，中国沈阳，110016

摘要

动态耦合对空间机器人的建模提出了重大挑战。在之前关于全局封闭形式矩阵动力学公式的研究基础上，本文提出了一种融合建模方法，该方法整合了牛顿-欧拉方法和拉格朗日方法的优点。所提出的全局重构-几何降维积分解耦动力学公式展示了系统级的解耦性和固有的被动性。实验结果表明，输出组件的模型误差在所有时间点的范围内保持在${10}^{?15}$的阶数，最大误差不超过${10}^{?14}$

引言

空间机器人系统由可移动的卫星基座平台和操作器组成。这些系统在轨道维护、组装大型空间结构以及清除轨道碎片等任务中发挥着重要作用[[1], [2], [3], [4]]。然而，目前描述它们运动的公式显示出强烈的固有耦合特性，这使得难以区分基座和操作器的行为[[5], [6], [7], [8], [9]]。因此，在为操作器规划精确路径时需要实时考虑基座的运动[[10], [11], [12], [13]]。在这种情况下，动态解耦指的是在系统动力学方程中消除或减轻基座和操作器之间的运动耦合效应，从而实现它们近乎独立的运动规划和控制。从数学角度来看，实现系统级动态解耦需要同时解决三个核心挑战：(i) 对惯性矩阵进行块对角化以消除广义加速度项中的交叉耦合；(ii) 对科里奥利-离心(CC)项进行全局分解，以明确表征每个子系统的非线性动态贡献；(iii) 通过动态映射明确表述基座-操作器系统中的外力分布，以准确描述系统内的力分配。因此，建立解耦的动力学公式对于提高空间机器人的任务执行能力和自主性至关重要[3]。

为了解决上述解耦挑战，机器人动力学建模方法已经从经典力学框架发展到现代几何方法。早期技术主要依赖于牛顿-欧拉[14]或拉格朗日[15]方法。Silver后来证明这两种方法在本质上是等价的[16]。Ortega和Spong[17]进一步阐明，尽管CC项具有统一的价值，但它们的矩阵表示可以有多种形式[18]。

自21世纪以来，李群和李代数被引入到递归牛顿-欧拉算法(RNEA)[6,19]和拉格朗日方法[20,21]中。上述研究基于这样一个事实：刚体运动构成了一个典型的李群，它同时具有群和可微流形的特性。然而，这两种方法在实现上有所不同：递归牛顿-欧拉算法侧重于利用李群的群结构特性。相比之下，从拉格朗日角度对空间机器人进行几何力学分析是基于可微流形的性质。通过将系统抽象为一个平凡的主纤维丛结构，基于李群不变性推导出了简化的欧拉-拉格朗日公式(RELF)[22,23]。

尽管取得了这些进展，但目前使用李群和李代数框架的方法仍然分别适用于空间机器人。RNEA隐式地建立了系统动力学模型[24]，这不利于模型并行计算或基于模型的最优控制[25,26]。我们团队的初步研究克服了传统递归框架的局限性，推导出了一个名为全局封闭形式矩阵动力学公式(GCMDF)[27]的显式矩阵映射公式。然而，这种公式仍然存在一些问题，如强耦合、无法反映系统的动量特性以及难以明确证明系统的被动性。此外，RELF面临计算复杂性高、解耦不完全以及实际中外力项不明确的挑战[5,8,28]。

值得注意的是，GCMDF和RELF有潜力互补各自的优点。我们团队的初步研究利用群属性推导出了GCMDF的惯性子矩阵时间导数及其相对于操作器关节的偏导数的封闭形式解析表达式[27]。这有可能解决RELF中偏导数计算复杂度高的问题。同时，GCMDF明确描述了刚体之间的扭矩传递关系，弥补了RELF在分析外力项方面的不足。至于RELF，可以通过定义机械连接将空间机器人系统的固有动量守恒特性建模为非完整速度约束[29]。这正好解决了GCMDF在明确反映系统动量特性方面的理论局限性。此外，Mishra等人[7]专注于讨论全局CC项的迭代计算公式，并提出了一种解耦方向。这有助于解决GCMDF由于矩阵的人为构造而难以实现解耦的困境。

本文的主要目标是开发GCMDF[27]的几何降维融合扩展，并推导出全局重构-几何降维积分解耦动力学公式(GR-GRIDDF)。这建立了一个明确、解耦且高效的建模方案，反映了空间机器人的动量特性。总结来说，本文的主要贡献如下：

1)

由机械连接引起的简化欧拉-拉格朗日公式(RELF-MC)： 该工作将空间机器人建模为一个平凡的主纤维丛，并阐明了在这种几何框架内锁定速度和机械连接的物理含义。基于这些概念，推导出了一个简化的欧拉-拉格朗日公式，得到了显式矩阵形式的动力学模型。其独特贡献在于它与之前建立的GCMDF的整合，为关键拉格朗日矩阵提供了明确的构建方法，并初步实现了牛顿-欧拉和拉格朗日建模范式的统一。

2)

全局重构-几何降维积分解耦动力学公式： 利用RELF-MC和GCMDF的互补特性，通过几何降维融合开发了一个统一的解耦动力学框架。通过利用在一致惯性矩阵下的独特、物理确定的CC项，我们将RELF-MC整合到GCMDF中。由此产生的GR-GRIDDF实现了系统级的动态解耦和物理被动性条件。理论上构建了一个分层计算框架，并在MATLAB平台上实现，证明了在${10}^{?14}$

的阶数下的数值精度，以及对于自由度介于3到9的操作器具有更高的计算效率。

3)

基于GR-GRIDDF的双模变维滑模控制策略： 基于GR-GRIDDF提供的系统级动态解耦和物理被动性动态表示，进一步开发了一种双模变维滑模控制策略。为了系统地评估轨道服务任务中的控制性能，建立了闭环控制场景，涵盖了接近飞行、接触交互和姿态恢复等关键操作阶段。与基于RNEA、GCMDF和RELF-MC设计的基准控制器进行了比较模拟。结果表明，所提出的策略在稳定性、适应性和效率之间实现了良好的平衡，从而验证了GR-GRIDDF的实际应用优势。

上述贡献为空间机器人系统的轨迹规划[[10], [11], [12], [13]]和模型预测控制[[30], [31], [32], [33]]建立了坚实的理论基础。本文的其余部分结构如下：第2节进一步应用之前的结果[27]从几何力学的角度推导出RELF-MC。第3节将GCMDF与上述RELF-MC整合，从而推导出GR-GRIDDF，实现了系统级的动态解耦和物理被动性动态表示。第4节提出了一种分层建模方法，用于高效实现GR-GRIDDF，并验证了其数值精度和计算效率。第5节提出了基于GR-GRIDDF的双模变维滑模控制策略，并验证了其在闭环轨道服务场景中的有效性。通过这项工作，我们旨在为未来的空间机器人提供可靠的模型基础，以实现高效、实时的控制。

章节片段

由机械连接引起的简化欧拉-拉格朗日公式

我们之前工作[27]的一个关键亮点是推导出了全局惯性矩阵的时间导数及其相对于关节角度的偏导数的封闭形式解析表达式。这一结果不仅有助于获取更高阶的灵敏度信息，还为克服传统拉格朗日方程由于大量偏导数计算而产生的高计算复杂性提供了关键基础。

全局重构-几何降维积分解耦动力学公式

如第2节所述，虽然RELF-MC通过几何构造实现了块对角化惯性结构，而GCMDF[27]提供了显式的外力表征，但这两种公式单独来看都无法满足所有三个解耦条件。本节通过系统地整合这些互补方法来开发GR-GRIDDF。

推导过程分为三个阶段。首先，重构GCMDF以使其与拉格朗日框架保持一致：

分层建模方法和实验

本节介绍了一个分层建模框架和过程，用于高效实现第3.3节提出的GR-GRIDDF，如图1和图2所示。此外，基于上述建模过程，本节使用我们之前研究[27]中定义的空间机器人系统的结构参数和模型输入，在MATLAB平台上进行了建模验证。实验结果表明，模型在所有时间点的误差

基于GR-GRIDDF的双模变维滑模控制策略

为了使空间机器人在有限的机载计算资源约束下实现高效收敛和稳健的交互性能，从而确保整个轨道服务过程中的稳定控制，本文提出了一种基于GR-GRIDDF的结构特性的双模变维滑模控制策略。所提出的策略结合了外力感知和误差反馈，以建立明确的

结论

本文致力于打破空间机器人动力学建模领域中牛顿-欧拉方法和拉格朗日方法之间的方法论障碍。为了解决这一挑战，在之前GCMDF[27]的研究成果基础上，本文从几何力学的角度推导出了RELF-MC，并进行了动力学融合，最终得到了GR-GRIDDF。此外，基于该模型的结构特性，提出了一种双模变维滑模

CRediT作者贡献声明

李峰：撰写——原始草稿，撰写——审阅与编辑，可视化，验证，方法论，形式分析，概念化。张伟：撰写——审阅与编辑，监督，项目管理，资金获取，数据管理，概念化。李少倩：撰写——原始草稿，方法论，调查，形式分析。高胜：撰写——原始草稿，撰写——审阅与编辑，验证，软件。韩一飞：软件，项目管理，

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