非中心统一矩阵模型的极限谱分布

《Journal of Applied Probability》：The limiting spectral distribution of the noncentral unified matrix model

非中心统一矩阵模型涉及随机矩阵X、投影矩阵P1和P2，研究其极限谱分布并发现与非中心F矩阵的关联。当p/n1趋近于c1∈(0,∞)，p/n2趋近于c2∈(0,1)时，模型Ω的实证谱分布几乎必然收敛到确定性极限分布，且该分布与非中心F矩阵的极限分布一致，揭示了该模型与经典多元统计分析的深层联系。

　　

摘要

我们研究了一个非中心统一矩阵模型的极限谱分布，该模型由以下公式定义：$\boldsymbol{\Omega}(\mathbf{X}) = ({(\mathbf{X}\mathbf{P}_1+\mathbf{A})(\mathbf{X}\mathbf{P}_1+\mathbf{A})'}/{n_1}) ({\mathbf{X}\mathbf{P}_2\mathbf{X}'}/{n_2})^{-1}$，其中$\mathbf{X}=(X_{ij})_{p\times n}$是一个随机矩阵，其元素独立同分布，均值为零且二阶矩有限。$\mathbf{A}$是一个$p\times n$的非随机矩阵。$\mathbf{P}_1$和$\mathbf{P}_2$是投影矩阵，满足$\mathrm{rank}(\mathbf{P}_1)=n_1$、$\mathrm{rank}(\mathbf{P}_2)=n_2$以及$\mathbf{P}_1\mathbf{P}_2=0$。当$\mathbf{P}_1$和$\mathbf{P}_2$为随机矩阵时，假设它们与$\mathbf{X}$相互独立。当$p/n_1\to c_1\in(0,\infty)$且$p/n_2\to c_2\in(0,1)$时，我们证明了$\boldsymbol{\Omega}$的实证谱分布几乎必然收敛于一个确定的极限分布。此外，我们发现这个极限分布与非中心F矩阵的分布一致，从而揭示了所提出模型与经典多元分析之间的深刻联系。

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