在多层活动驱动的网络中，由人类流动性驱动的时空传播动态

《Applied Mathematics and Computation》：Spatiotemporal contagion dynamics driven by human mobility in multilayer activity-driven networks

时空传播动力学中非马尔可夫人类流动性建模及阈值分析，提出融合有限旅行时间和动态社会交互的多层活动驱动网络模型，基于淬火平均场理论和Next Generation矩阵推导疫情阈值，揭示旅行强度、交互密度和持续时间对多波疫情振荡的影响机制。

　　

曹慧英|于登秀|陈春亮

东北大学商学院，沈阳，110819，中国

摘要

随着交通系统的扩展，人类流动的地理边界被打破，产生了复杂的时空传染动态模式。传统的理论模型往往忽略了人类流动的记忆效应和社会互动的动态演变。为了解决这个问题，我们引入了一个新的理论框架来模拟时空传染动态。首先，我们开发了一个时间多层网络，该网络将人口的空间结构与非瞬时的旅行过程结合起来，在各层内部以及旅行过程中都会发生感染，这一过程通过活动驱动的网络来模拟变化的社会互动。其次，我们使用淬火平均场理论来表述非马尔可夫动态，并基于下一代矩阵方法推导出分析性的流行病阈值，证明了流行病的爆发和进展受到旅行强度（旅行者的比例和跳跃率）、互动密度以及旅行持续时间的影响。第三，通过大量的实验和分析，我们发现，与马尔可夫动态和分析性的SIR型解决方案相比，非马尔可夫动态引入了由记忆驱动的有效人口规模在结构组件之间重新分配的延迟，从而更准确地捕捉到了现实中的多波感染模式。密集的旅行互动主要驱动了时空传染动态。在高度连接的旅行环境中，更强的旅行强度会加速流行病的传播。相比之下，旅行持续时间的影响更为复杂，取决于传播率，反映了旅行过程中感染和恢复的相互作用。这项研究为设计公共卫生干预措施（如旅行限制和隔离措施）以减轻大流行风险提供了重要的理论见解。

引言

传染病长期以来一直对人类社会和公共卫生构成严重威胁[1]。随着现代交通系统（如航空、铁路和城市公共交通）的迅速发展，流行病的传播动态发生了深刻变化，病原体能够以前所未有的速度跨越地理边界[2]。这种由流动性驱动的连通性给流行病的预防和控制带来了巨大挑战，正如COVID-19大流行在几周内全球蔓延所显示的那样[3]。因此，理解这种时空传染动态的机制在理论和实践上都具有重要的意义，为制定有效的干预措施提供了必要的见解。

近年来，多层网络已成为模拟由人类流动性驱动的流行病传播的强大框架[4]，[5]。An等人使用依赖于每层内感染邻居数量的偏置随机游走来研究多重网络中的流行病动态[6]。Li等人开发了一个具有层偏好游走的时间多层网络，以捕捉由于个人迁移而产生的变化物理接触[7]。Wu等人在多层网络中引入了特定于层的跳跃偏好，以研究个人移动行为如何影响流行病的传播[8]。尽管取得了这些进展，但这些研究的一个共同局限性是将人类流动性建模为瞬时跳跃过程，即旅行者在离开起点后立即到达目的地层，使得感染仅在各层内部发生。实际上，人类流动性通常在有限的时间内展开，这个时间通常由交通计划决定，在此期间个体可能会被感染或将疾病传播给他人[9]。此外，当前的多层网络通常将社会互动视为静态的，尽管有实证证据表明它们本质上是随时间变化的[10]，[11]，[12]。活动驱动网络（ADNs）通过根据个人活动水平生成变化的连接提供了一个有前途的解决方案[13]，[14]，[15]，[16]，[17]。Han等人将人类活动特征和风险感知纳入流行病传播中，并在ADNs中探索了一个全面的进化疫苗接种游戏[18]。Hou等人通过将人口分为“风险无知”和“风险规避”两类，分析了社会态度对ADNs中传染动态的影响[3]。Hong等人量化了检测和接触追踪干预在ADNs中抑制流行病的有效性[19]。然而，在具有记忆效应的人类流动性条件下，将ADNs应用于多层框架来模拟流行病传播仍然是一个未解决的问题。

网络流行病学中的一个核心量是流行病阈值，它划定了疾病灭绝与持续传播之间的临界条件[20]，[21]。对于异质性和多层网络来说，推导出阈值对于描述流行病的爆发以及量化结构异质性和层间耦合如何调节爆发风险至关重要[22]。此外，明确的阈值标准为早期预警和设计有效的控制策略提供了可解释的基础。淬火平均场（QMF）理论已成为描述数学动态方程和推导网络流行病学流行病阈值的强大分析工具[23]。与假设人口均匀混合的经典平均场方法不同，QMF明确地将网络的拓扑异质性纳入考虑，通过为每个节点分配动态方程，从而更准确地估计流行病的爆发和流行程度[24]，[25]。然而，现有的基于QMF的传染动态通常在马尔可夫（MK）假设下进行建模，其中层间转换被假设为无记忆的，并由固定概率控制。因此，在非马尔可夫（NMK）流动性重塑有效接触模式和层间时间相关性的情况下，基于MK假设获得的阈值结果可能不准确，从而改变临界点并改变预测的流行程度[26]，[27]。这些考虑促使我们在QMF框架内推导流行病阈值[28]，[29]，用于具有NMK流动性的时间多层网络，为我们的后续动态分析建立了严格的分析基础。

为了解决这些不足，本文提供了一个多层活动驱动网络的理论框架，以更真实地捕捉由人类流动性驱动的流行病传播。首先，多层结构包括代表不同区域的两个层，层间边编码了具有有限持续时间的旅行过程。在各层内部和层间，由ADNs生成的变化社会互动在与流行病进展相当的时间尺度上演变。然后，为了剖析流行病动态，我们基于QMF制定了NMK动态，明确纳入了人类流动性的记忆效应，并将其与传统的MK动态进行了对比。基于此，我们分析了流行病阈值，这是一个关键指标，用于衡量疾病是否会爆发。阈值表明，流行病的爆发取决于旅行强度、互动密度和旅行持续时间。第三，我们进行了大量实验来分析这些因素如何影响时空传染动态。结果揭示了时间多层网络中由NMK流动性机制产生的内生多波和振荡性流行病动态。与通常产生单峰爆发的MK流动性不同，NMK流动性引入了确定性的旅行时间延迟，个体以时间相关的方式离开和返回，从而在层内和层间传播之间产生了延迟诱导的反馈循环。我们还发现，密集的旅行互动是疾病传播的关键决定因素。在密集的环境中，更强的旅行强度会加剧感染风险，降低阈值。而在低传播率下，较长的旅行时间会增强旅行感染，而在高传播率下，由于旅行过程中的恢复，传播可能会减少。

本研究的主要贡献包括以下几点：

• 1)
  建立了一个新的多层活动驱动网络，通过引入固定的旅行持续时间和由个人活动水平生成的变化社会互动，考虑了非瞬时的人类流动性，整合了传染动态的空间和时间维度。
• 2)
  在QMF框架内使用下一代矩阵方法推导出流行病阈值的分析表达式，表明时空传染动态的爆发受旅行强度、互动密度和旅行持续时间的影响。
• 3)
  揭示了多波和振荡性爆发的内在机制。非马尔可夫人类流动性引入的层间互动和延迟诱导的反馈产生了层内和层间感染过程之间的有效人口重新分配，这是相应的马尔可夫设置无法捕捉到的。

本文的其余部分组织如下：第2节概述了多层活动驱动网络的构建。第3节使用QMF理论发展了MK和NMK动态，并推导出流行病阈值。第4节通过广泛的模拟验证了理论框架，并研究了关键参数对流行病结果的影响。第5节总结了这项工作，并提出了未来研究的方向。

部分片段

多层活动驱动网络

为了更真实地描述人类流动性如何促进疾病在区域间的传播，我们设计了一个多层网络，该网络既捕捉了空间的分离，也捕捉了流动性的时间连续性。与假设瞬时旅行的传统多层模型不同，我们的模型考虑了有限的旅行持续时间以及由变化的社会联系驱动的旅行过程中的感染可能性。

传染动态

在本节中，我们采用了易感者-感染者-康复者（SIR）分区模型[30]，[31]，[32]。在该模型中，个体被分为三个不同的分区：

• •
  易感者（S）：容易感染疾病的个体；
• •
  感染者（I）：已经感染疾病并且能够将其传播给他人的个体；
• •
  康复者（R）：已经从疾病中恢复并获得免疫力的个体（注意，该分区不包括已故者）

结果

为了捕捉流行病传播过程的固有随机性，我们进行了广泛的蒙特卡洛（MC）模拟来验证所提出的理论框架，并分析了层间边感染的关键因素。每个层包含

讨论与结论

本研究提出了在开创性的时间多层框架上运行的非马尔可夫传染动态，用于模拟时空流行病传播，该框架独特地将人类流动性与变化的社会互动结合起来。首先，我们开发了一个新的多层活动驱动网络，包括代表不同地理区域的两个层。在网络中，人类流动性被建模为需要有限旅行时间完成的跨层旅行，其演变

致谢

这项工作部分得到了中国国家重点研发计划（编号：2024YFF0509600）的支持，部分得到了国家自然科学基金（编号：62333009、62373302）的支持。