《Applied Mathematics and Computation》：Revisiting deterministic evolution: Robustness of cooperation under stochastic mutations and delayed feedback
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本文在两物种时滞进化博弈模型基础上引入高斯随机突变，构建包含随机性和时滞的复制者动态系统，通过Lyapunov稳定性分析和数值模拟，发现确定性模型对长期合作演化结果仍具强预测力，合作平衡在强噪声下保持稳健，仅极端扰动导致偏离。研究揭示了确定性框架在真实复杂系统中的适用边界。
Kaipeng Hu|Xiaoqian Zhao|Zhouhong Li|Mahmut ?zer|Lei Shi|Matja? Perc
云南财经大学统计与数学学院，昆明，650221，中国
摘要
随机突变是进化过程的固有部分，反映了遗传变异的随机性以及战略行为中的不确定性。在本文中，我们通过将高斯随机突变引入具有时间延迟的复制方程，扩展了之前关于两物种系统中延迟进化动态的研究。该框架涵盖了种内和种间相互作用，其中延迟代表了生物和社会系统中反馈和响应的不可避免的滞后。利用基于李雅普诺夫的稳定性分析和数值模拟，我们表明，尽管随机突变会改变轨迹，但在非常强的噪声下，合作均衡仍然保持稳定，只有极端扰动才会导致系统偏离。这些发现表明，确定性模型在现实条件下对长期进化结果仍具有很强的预测能力，为记忆和随机性如何共同塑造合作的进化提供了新的见解。
引言
合作是生物和社会系统的关键特征，涵盖了微生物群落、植物-传粉者网络以及人类社会[1]、[2]、[3]。这些从互惠到共生的相互作用中，合作行为与剥削策略之间存在内在冲突，这是进化动力学中的一个核心主题[4]、[5]、[6]。
进化博弈论为理解合作如何在竞争环境中出现和持续提供了强有力的分析工具[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]。复制方程是这一框架中的关键分析工具，它描述了策略频率如何随着相对收益的变化而在一个无限大且混合良好的种群中演变[13]、[14]、[15]。进化稳定策略（Evolutionary Stable Strategy）的概念是这一动态的核心，它能够抵抗稀有突变体的入侵，并确保种群的动态稳定性[7]、[16]、[17]。这种方法在生物和社会系统中的有效性得到了验证。例如，在公共物品游戏中，引入自愿参与[18]会导致合作者、背叛者和独行者之间的循环主导，这种动态类似于“石头-剪刀-布”[19]。在此基础上，惩罚[20]、[21]、[22]、奖励[23]和排斥[24]、[25]、[26]等策略已在复制系统中得到数学形式化，每种策略都为加强合作提供了途径[27]、[28]。然而，这些模型通常将策略视为离散物种或基因型的代理，常常忽略了物种内部和之间的相互作用。最近的研究进一步揭示了种群不仅相互竞争和合作，还重塑了它们所处的环境[29]。例如，Weitz等人发现，对共享资源的过度开发会引发环境枯竭和恢复的反馈循环，表现为合作与背叛之间的振荡[30]。同样，Liu等人将环境反馈整合到复制动态中，展示了生态系统保护的投资如何调节集体风险并在威胁下维持合作[31]。
尽管取得了显著进展，但基于确定性假设的复制方程往往忽略了现实世界系统中固有的随机性来源。环境波动和不完美信息都可能塑造进化轨迹，偶尔会破坏原本稳定的进化策略[32]、[33]。为了解决这些问题，随机方法受到了越来越多的关注。例如，Moran过程捕捉了有限种群中随机漂移的作用，为策略的概率固定和合作的出现提供了宝贵的见解[34]、[35]。类似地，空间博弈考虑了结构化的种群和局部相互作用，自然地将概率模仿和探索等随机因素嵌入到策略更新中[36]、[37]、[38]、[39]、[40]。重要的是，这些随机框架是对复制动态的补充而非替代。实际上，在某些条件下，复制方程的预测与网络模拟的结果之间存在定性一致[14]、[40]、[41]，这突显了复制框架在模拟复杂进化过程中的持久相关性。
为了更好地理解不确定性如何塑造进化动态，我们在之前关于具有时间延迟的两物种进化博弈模型的基础上进行了扩展[42]。通过将随机突变过程引入复制框架，我们构建了一个系统，该系统捕捉了随机突变和延迟反馈对合作的综合影响。利用基于李雅普诺夫的稳定性分析[43]、[44]，我们系统地研究了不同噪声强度和时间延迟如何重塑进化轨迹，揭示了合作可以被稳定或破坏的条件。
部分摘录
确定性基线模型
我们研究了一个涉及两个物种A和B的两物种进化博弈，每个物种都有无限大且混合良好的种群（).个体之间进行成对互动，要么与同种个体互动（种内互动，概率p），要么与另一物种的个体互动（种间互动，概率）。每个个体采用两种策略之一：合作或背叛。相应的收益矩阵可以描述为：
