循环组件索引（LCI）：一种用于量化从组件主导断裂网络向循环主导断裂网络转变的有限拓扑度量

《Journal of Structural Geology》：Loop-Component Index (LCI): A Bounded Topological Metric for Quantifying Transition from Component to Loop-Dominated Fracture Networks

本研究提出Loop-Component Index（LCI），通过面积归一化和双曲正切变换解决欧拉数尺度依赖及无界问题，LCI值介于0-1，反映断裂网络从孤立组件主导向环主导的拓扑过渡，并与渗透率呈正相关，适用于跨数据集比较。

　　

Sivaji Lahiri

印度丹巴德CSIR-中央矿业与燃料研究所，邮编826001

摘要

对断裂网络的拓扑特征进行分析对于理解其结构组织和大规模水力行为至关重要。在这项研究中，我引入了“环-组件指数”（Loop–Component Index，简称LCI），这是一种基于欧拉数（E = β₀ ? β₁）得出的有界且与尺度无关的度量方法，其中β₀表示不连通组件的数量，β₁表示封闭环的数量。不连通组件是指在映射区域内与其他组件没有拓扑连接的孤立断裂簇/断裂痕迹，而环则是由相互交叉的断裂段形成的封闭多边形区域。然而，原始的欧拉数强烈依赖于地图的大小——特别是考虑到不同地点大型、暴露良好的露头非常有限——这使得数据集之间的直接比较不可靠。此外，欧拉数E的理论取值范围是从?∞到+∞，因此其特性是无界的。这种缺乏固定限制的情况使得它在比较或统计分析中的使用变得复杂，尤其是与其他通常按单位面积或长度标准化的断裂网络描述符相比时。

为了克服这些限制，首先将欧拉数E按地图面积进行标准化，然后使用双曲正切函数（tanh f(x)）进行转换，从而得到介于0和1之间的LCI值。在这个框架下，LCI → 0表示以组件为主的网络，其相互连接性有限；而LCI → 1则反映了以环为主、相互连接性丰富的系统。LCI = 0.5的中间值标志着关键的拓扑转变点（E = 0），此时组件和环的数量达到平衡。

对合成断裂网络的分析表明，LCI能够有效捕捉由断裂密度、痕迹长度和交叉角度驱动的拓扑转变。当LCI > 0.5时，渗透现象一致发生，LCI与等效渗透率（k_eq）之间的正相关关系进一步证明了它作为有界、与尺度无关的断裂网络结构演化描述符的有效性。

引言

地质和工程材料中的断裂网络强烈影响流体流动、热传递以及岩石的力学响应（Walsh, 1981; Long et al., 1982; Dershowitz and Herda, 1992; Sibson, 1996; Jaeger et al., 2009; Jafari and Babadagli, 2012; Chen and Jiang, 2015; Vishnu et al., 2016; Lahiri, 2021）。这些过程不仅受断裂密度和方向的影响，还受断裂在岩体中交叉和组织方式的影响。特别是，交叉点可能形成“环”，即由相互连接的断裂段围成的封闭多边形区域，与孤立断裂相对。网络中这些孤立组件和环的存在在控制断裂网络的整体行为中起着关键作用。

随着变形的进行，断裂系统会经历系统的几何重组，从以孤立断裂组件为主的结构演变为更复杂的配置，在这种配置中，不断增加的断裂交叉产生了连续的流动路径（Odling, 1997）。这里我们特别指的是映射出的断裂痕迹的几何排列，而不是它们的水力连通性。在深层地下，许多断裂部分或完全被胶结物封闭（Forstner and Laubach, 2022），因此几何交叉并不一定意味着水力连通。我们的分析侧重于由痕迹模式表示的断裂网络的结构拓扑，而不考虑断裂填充物、孔隙度或透水性。

由于天然断裂网络固有的复杂性和强烈的尺度依赖性，定量描述从以孤立组件为主的网络向以环为主的网络的转变仍然具有挑战性（Maillot et al., 2016）。一种解决这一挑战的方法是使用强调其几何和拓扑结构的度量方法来描述断裂网络，从而将复杂的断裂模式简化为基本元素——即孤立组件和封闭环（图1）。这种方法提供了在痕迹尺度上简洁且具有物理意义的断裂网络架构描述，而不假设水力连通性。在这项研究中，我们引入了一个新的指数，称为“环-组件指数”（Loop–Component Index，简称LCI），以系统地量化从以组件为主的断裂模式向以环为主的结构配置的转变。

环-组件指数（LCI）是基于欧拉数（E）定义的，其中二维情况下的欧拉数（E）计算为E = β₀ – β₁，其中β₀表示孤立组件的数量，β₁表示由断裂交叉形成的环的数量。因此，E表达了孤立组件形成与环形成之间的平衡。正的E值表示以孤立组件为主的分裂网络，而负的E值则表示富含环的连通网络（Aydogan and Hyttinen, 2014）。

欧拉数之前已被广泛用于表征颗粒介质中孔隙空间的拓扑特性（Ams et al., 2001; Scholz et al., 2012; Qin et al., 2022; McClure et al., 2020; Moraru et al., 2011; Xu et al., 2009; Jiang et al., 2011）。然而，将其应用于断裂网络的研究相对较少。在这项研究中，我扩展了欧拉数的使用，以系统地表示和量化二维断裂模式的拓扑特性。通过解释不连通组件与封闭环之间的平衡，我展示了基于欧拉数的度量方法如何为断裂网络的结构组织提供有意义的洞察。

然而，原始的欧拉数（E）并不适合直接用于不同地质断裂图之间的比较，原因有两个。首先，E是两个绝对计数之间的差值——孤立组件的数量（β₀）和封闭环的数量（β₁）——因此没有内在的界限，理论上其取值范围是从?∞到+∞。E不是以比率形式表达的。这种缺乏固定界限的情况使其在比较或统计分析中的应用变得复杂，特别是与其他通常按单位面积或长度标准化的断裂网络描述符相比时。

其次，更重要的是，E本质上依赖于映射区域的大小——特别是考虑到不同地点大型、暴露良好的露头非常有限——这使得从不同露头收集的数据集之间的直接比较不可靠。对于具有相似结构特性的断裂网络，随着观察窗口的增大，β₀和β₁都会增加。因此，即使底层断裂组织保持不变，E的数值也会随着地图大小或露头面积的增加而增加。更大的采样窗口不可避免地包含更多的断裂段、交叉点和封闭环，从而导致E的正负值系统性地增大。这种尺度依赖性意味着不同断裂图之间的E值差异可能反映了观察区域的差异，而不是网络结构本身的差异。因此，原始的E值不能可靠地用于比较具有不同地图大小或采样窗口的数据集中的断裂模式，这促使我们需要在解释E之前进行适当的标准化。

为了克服这些限制，本研究引入了“环-组件指数”（Loop–Component Index，简称LCI），它将无界的欧拉数（E）转换为0到1之间的标准化范围。这是通过首先根据分析区域或域大小（A）对E进行标准化，然后进行双曲正切变换来实现的，该变换将大的正负值平滑压缩到一个有限的区间内，同时保持网络状态的相对顺序。因此，LCI = 0表示以孤立组件为主的断裂网络，而LCI = 1对应于以封闭区域为主的系统。LCI = 0.5的中间值标识了一个过渡性的结构状态，标志着从以组件为主的断裂模式向以环为主的配置的演变。

我研究了关键断裂网络属性（包括断裂密度、断裂痕迹长度和交叉角度）如何控制LCI的演变。我还探讨了LCI与渗透阈值之间的关系，以及它对断裂网络流体流动特性的影响。最后，将LCI应用于自然断裂数据集，以展示其稳健性、可解释性以及适用于比较具有不同几何特性的数据集中的断裂网络拓扑转变。

小节片段

欧拉数（Ε）

拓扑理论关注系统元素之间的基本关系，这些关系独立于它们的几何大小、形状或方向。这种尺度不变性使得拓扑成为描述网络组织的强大工具。在代数拓扑中，可以使用欧拉-庞加莱公式（Poincaré, 1895）来表示系统的欧拉数（Ε），该公式通过贝蒂数（β_k）的符号交替求和来计算（Aydogan and Hyttinen, 2014; Merchant and Castleman, 2022; Peyrin et al., 2007；

估计欧拉数

为了估计二维断裂模式的欧拉数（E），我们使用了一段MATLAB脚本。对于每个断裂模式，计算了第0个（β₀）和第1个（β₁）贝蒂数。然后根据这些贝蒂数推导出欧拉数，并使用方程式4计算LCI。

图3a展示了一个改编自Lucca等人（2020）的断裂模式。封闭环（β₁）用蓝色标出（图3b），而孤立组件（β₀）则用不同的颜色显示

LCI与断裂密度

研究了E_A和LCI随断裂密度变化的情况（图7a）。图7b显示，在低断裂密度下，所有实现的欧拉数均为正数（N_l ≤ 30）或略微负数（N_l ≥ 30）。随着密度的增加，大多数曲线（N_l ≥ 30）逐渐减小，在中等密度时穿过负的E_A值。在高密度下，对应于中等和较长断裂痕迹长度（N_l ≥ 30）的曲线获得了强烈的负E_A值，而短

LCI与断裂密度（Nr

图7展示了随着断裂密度（N?）的增加，断裂网络的拓扑演变及其对断裂痕迹长度（N_l）的依赖性。在低密度下，网络由孤立断裂段主导，导致许多不连通的组件和较少的环，从而欧拉数（E_A）为正。随着密度的增加，断裂交叉减少了孤立组件并促进了环的形成，导致E_A稳步下降。E_A的零交叉点标志着

结论

• 1)
  尽管原始欧拉数通过量化不连通组件与环形成之间的平衡有效地捕捉了断裂网络的全局拓扑，但它本质上是无界的且依赖于尺度，这使得不同大小和分辨率的断裂图之间的直接比较不可靠。通过对面积进行标准化并随后进行双曲正切变换，成功地将E转换为LCI，这是一个介于0和1之间的有界、无量纲的度量。这种标准化消除了

未引用的参考文献

Jing et al., 2017; Lahiri et al., 2025; Manzocchi, 2002; Vishnu et al., 2018; Arns et al., 2001; S?vik and Nixon, 2017.

代码可用性

本研究中开发和使用的计算代码可向相应作者索取。

利益冲突声明

作者声明他们没有任何可能影响本文工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢：

S.L. 感谢丹巴德CSIR-中央矿业与燃料研究所的所长提供了进行这项工作所需的设施。这项研究部分得到了内部项目CIMFR/IHP/2022/09375-MLP-161的支持，部分得到了SERB-Startup Research Grant（SRG/2023/002493）的支持。