《Composite Structures》：Multilayer homogeneous model for functionally graded piezoelectric structure with arbitrary property: From mechanical analysis to optimization
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功能梯度压电（FGPE）结构在传感器和执行器中的应用潜力显著，但传统多层结构存在应力集中和分层问题。本文提出多层均匀模型（MHM）解决任意梯度FGPE结构的静力学分析难题，通过有限差分法（FDM）验证其高效性和高精度，并建立多目标优化框架提升机电性能。研究表明MHM在有限层数下即可准确预测应力分布和电势场，且计算效率优于FDM，梯度指数对力学和电学响应影响显著。
李凤军|谢军|史鹏鹏
宁夏民族大学数学与信息科学学院，中国银川750021
摘要
开发先进的函数梯度压电（FGPE）结构对于优化机电设备（如传感器和执行器）的性能至关重要。本文在对称加载条件下，利用多层均匀模型（MHM）对FGPE圆柱体和球形壳的静态响应和优化分析进行了研究。对于具有幂律梯度的材料，推导出了显式的封闭形式解，为这种梯度分布下的FGPE空心圆柱体和球形壳建立了基准结果。对于任意材料梯度，采用MHM和有限差分法（FDM）获得了解析和数值解，从而为一般梯度的FGPE结构提供了参考结果。针对具有特定径向非均匀性的FGPE结构进行了数值讨论，展示了在电场和机械载荷下径向和周向应力以及电势的分布。还讨论了同时提高电能转换效率和机械可靠性的多目标优化框架。与FDM结果的比较表明，MHM不仅在层数有限的情况下实现了更高的精度，而且计算时间也显著减少。此外，发现梯度指数对机械和电响应都有显著影响。这些发现为优化FGPE圆柱体和球形结构的设计提供了宝贵的见解。
引言
功能梯度压电（FGPE）材料因其成分和性能的空间连续变化而成为传统层压压电（PE）复合材料的优越替代品[1]、[2]、[3]、[4]。通过消除尖锐界面，FGPE材料有效减轻了应力集中，提高了断裂韧性、可靠性和使用寿命，使其非常适合极端环境中的先进传感器和执行器应用[5]、[6]。它们定制的机电性能使它们在航空航天、生物医学工程、能量收集和智能结构系统等多个领域表现出色[7]、[8]、[9]。
PE材料能够将机械能转换为电能，反之亦然，由于其出色的机电耦合性能而被广泛用于传感器、执行器和换能器[10]。该领域的初步研究主要集中在均匀PE结构上。例如，Toupin的基础性工作为分析静态条件下的径向极化均匀PE球形壳提供了理论基础[11]。在此基础上，Sinha推导出了PE空心球的热应力分布的解析解，从而对其热机械行为提供了宝贵的见解[12]。后续工作扩展到了动态分析，许多研究使用精确方法和数值近似方法探索了自由振动特性、波传播模式和谐波响应[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。为了提高位移输出和灵敏度，随后开发了多层PE结构。然而，这些设计带来了固有的挑战，包括层界面处的应力集中和分层风险。这些局限性突显了在先进PE应用中需要更可靠的材料架构。
FGPE材料的发展代表了旨在缓解传统均匀和层压PE结构中遇到的界面问题和性能限制的重大进步。已经进行了大量研究来研究FGPE在机械、热和电载荷条件下的行为。对于某些类型的性能梯度分布，解析方法被证明非常有效。例如，对于圆柱壳结构，基于状态空间方法开发了一种解析方法来研究具有指数模量变化和嵌入PE层的简支FGPE壳的静态行为[20]。Ding等人[21]建立了一个全面的框架，用于分析具有幂律梯度的FGPE球的动态和瞬态压电热弹性响应。同时，Ootao和Tanigawa[22]为FGPE板的瞬态热应力问题开发了解决方案。Zhong和Shang[23]为简支FGPE板推导出了三维精确解，提供了关于材料梯度与机电行为之间耦合的关键见解。为了进一步提高解析能力，Chen和Ding[24]引入了状态空间公式来处理矩形FGPE板中的复杂边界值问题。在厚壁圆柱体的背景下，使用Voigt方案对电机械载荷下的FGPE圆柱体进行了理论分析，采用幂律模型来描述PZT4/PVDF的组成[25]。在数值方面，已经应用了微分求积技术等方法来研究静态分析和动态热弹性分析[26]、[27]。有限元模拟有助于分析具有几何复杂性的结构中的多场耦合[28]、[29]、[30]，而基于勒让德多项式的谱方法已被有效应用于FGPE板和压电-压磁复合曲板的波传播建模[31]、[32]。这些研究一致表明，量化材料性能空间变化的梯度指数在确定关键性能特性（包括应力分布和能量转换效率）方面起着关键作用[33]、[34]。
上述解析和数值研究为理解FGPE材料在实际应用中的多功能能力提供了坚实的基础。FGPE材料独特的平滑变化性能使其特别适合涉及多物理场相互作用的应用。例如，在高温环境中，由于它们的梯度热膨胀和热电系数，这些材料表现出优异的性能，有效减少了热失配并抑制了裂纹的产生[35]、[36]、[37]。在磁场中，FGPE材料的可调磁电耦合特性使得在传感器和自适应系统中可以实现创新设计[38]、[39]。在承受机械载荷时，FGPE内的连续性能过渡有助于减轻应力集中并提高抗损伤能力[40]、[41]。这些非线性行为显著影响了FGPE设备的操作精度和使用寿命。此外，诸如高电场强度或显著温度变化引起的非线性效应也得到了广泛研究[41]、[42]、[43]、[44]、[45]、[46]。这些非线性行为显著影响了FGPE设备的操作精度和使用寿命。这些研究不仅增强了在极端条件下多物理耦合机制的基本理解，还为优化精密驱动、智能传感和自适应能源系统等高级应用的性能和可靠性提供了重要见解。有效控制和利用这些非线性特性仍然是进一步提高基于FGPE的设备的功能适应性和操作稳定性的关键焦点。
尽管取得了这些进展，但仍有几个挑战阻碍了FGPE结构的广泛应用。一个关键的理论限制是缺乏在不同载荷下径向极化FGPE圆柱体和球形壳的通用解析解，特别是当材料属性任意变化时[1]、[6]，并且关于这些结构的优化设计研究在文献中仍然很少。现有的解析方法通常假设所有材料参数的幂律变化是相同的，而传统的数值方法在解决耦合的电弹性场时经常面临网格敏感性和计算效率低的问题[1]、[33]、[34]。为了解决这些限制，本研究开发了一种新的多层均匀模型（MHM）。所提出的MHM通过建立一个可以处理任意变化材料属性的机械分析和优化设计的解析框架，改进了现有的多层方法[48]、[49]，而无需预先设定它们的功能形式。同时建立了详细的有限差分方法（FDM）以提供数值基准，全面的验证表明，即使层离散化程度有限，MHM也能实现高精度和高效率。该解析框架弥合了依赖于特定梯度假设的受限解析模型和计算成本高昂的数值方法之间的差距，实现了广泛的适用性而不牺牲效率。本研究围绕三个主要目标展开：首先，MHM能够对任意梯度的FGPE结构进行解析电弹性分析；其次，系统的FDM验证表明MHM在层数有限的情况下具有高精度和稳定性；第三，参考数据和优化框架为高级FGPE结构提供了设计见解。
本文的结构如下。第2节给出了PE结构的问题描述和解决方法。第3节介绍了MHM。随后，第4节进行了收敛性和数值验证。第5节进行了详细分析和讨论。第6节提出了结论性意见。
部分摘录
MHM描述
对于具有恒定材料参数的均匀PE结构，其控制方程是一组具有恒定系数的常微分方程。通过解其特征方程，可以获得如Sect. 2.1所示的统一解析解，在该解中，位移、应力和电势可以用方程（14）-（18）表示，解包含四个未确定的常数
、、和< />0，由边界条件确定。对于FGPE圆柱体收敛性分析
为了验证理论方法的收敛性，首先进行收敛性分析。
机械分析
精确解严格适用于具有幂律材料梯度的FGPE结构。鉴于这一特定假设，解析解的适用性是有限的。为了处理具有任意属性分布的材料，FDM需要更多的配置点并且相对耗时。因此，采用MHM来计算径向应力、周向应力和电势的分布。在一般情况下，FGPE材料
结论
本文建立了一个全面的理论和解析框架，用于分析在对称加载条件下径向极化FGPE圆柱体和球形壳的电弹性响应。所提出的MHM有效解决了获得具有任意材料梯度剖面结构的准确解的基本挑战。进行了一些数值研究，涵盖了各种材料梯度模型、均质化方案等
CRediT作者贡献声明
李凤军：撰写——原始草稿，软件，资源获取，资金筹集，形式分析，数据管理，概念化。谢军：撰写——原始草稿，验证，软件，方法论，调查，资金筹集，形式分析。史鹏鹏：撰写——审阅与编辑，监督，资源，方法论，概念化。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。
致谢
本工作得到了宁夏民族大学的中央高校基本科研业务费（2025QNPY01）、中央高校基本科研业务费（编号B250201171）、江苏省优秀博士后人才资助计划（编号2025ZB867）、国家自然科学基金（编号12272195）、宁夏高水平科技创新领军人才项目（编号2021GKLRLX06）以及宁夏自然科学的关键项目的支持
